[論文レビュー] The Cosmological Semiclassical Einstein Equation as an Infinite-Dimensional Dynamical System

Hanno Gottschalk, Daniel Siemssen|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2018

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 69被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、無限次元動的システムの枠組みを用いて、宇宙論的時空における半古典的アインシュタイン方程式（SCE）のグローバル解および局所解の存在を確立する。正則化手順をハダマード点分割と同等のものとして採用し、オフシャニコフ型の手法を適用することで、真空中に類似する状態に対して最大解を、熱的状態に類似する状態に対して局所解を証明した。これにより、先行研究で見られたミンコフスキー時空の不安定性を回避した。

ABSTRACT

We develop a comprehensive framework in which the existence of solutions to the semiclassical Einstein equation (SCE) in cosmological spacetimes is shown. Different from previous work on this subject, we do not restrict to the conformally coupled scalar field and we admit the full renormalization freedom. Based on a regularization procedure, which utilizes homogeneous distributions and is equivalent to Hadamard point-splitting, we obtain a reformulation of the evolution of the quantum state as an infinite-dimensional dynamical system with mathematical features that are distinct from the standard theory of infinite-dimensional dynamical systems (e.g., unbounded evolution operators). Nevertheless, applying methods closely related to Ovsyannikov's method, we show existence of maximal/global solutions to the SCE for vacuum-like states, and of local solutions for thermal-like states. Our equations do not show the instability of the Minkowski solution described by other authors.

研究の動機と目的

• 宇宙論的時空における半古典的アインシュタイン方程式（SCE）を解くための厳密な数学的枠組みを確立すること。
• 従来の結果を共形的にカップルされたスカラー場にとどまらず、完全な正則化自由度を含めるように拡張すること。
• 真空中に類似する状態に対してグローバル解の存在を証明し、熱的状態に類似する状態に対して局所解の存在を示すこと。
• 先行研究における不一致を解消し、ミンコフスキー解の不安定性を回避すること。

提案手法

• 有界でない時間発展作用素を伴う無限次元動的システムとしてSCEを定式化する。
• 同次分布に基づく正則化手順を適用し、紫外発散を扱う。これはハダマード点分割と同等である。
• 非標準的な動的システムの特徴を考慮しても解の存在を証明するために、オフシャニコフの手法を用いる。
• 正則化されたストレステンソル成分を介して量子状態の進化を追跡する状態進化枠組みを導入する。
• ガンマ関数の不等式とスターリングの近似を用いた厳密な推定により、解のノルムを制御する。
• 関数空間上で収縮写像の議論を確立し、解の存在および一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共形的にカップルされた場合に限らず、宇宙論的時空における半古典的アインシュタイン方程式は、厳密に解けるか？
• RQ2 完全な正則化自由度の導入は、SCEにおけるミンコフスキー時空の安定性に影響を与えるか？
• RQ3 本枠組みにおいて、真空中に類似する量子状態に対してグローバル解の存在を証明できるか？
• RQ4 熱的状態に類似する状態はSCEにおいてどのように振る舞い、その解の存在の性質は何か？
• RQ5 有界でない時間発展作用素を伴うにもかかわらず、SCEは適切に定義された無限次元動的システムとして定式化可能か？

主な発見

• 本稿では、オフシャニコフの手法を用いて、真空中に類似する状態に対して最大（グローバル）解の存在を証明した。
• 熱的状態に類似する状態に対して局所解が確立され、真空状態に限らない適用範囲の拡張が達成された。
• 本研究の枠組みでは、先行研究で報告されたミンコフスキー解の不安定性を回避しており、より安定した振る舞いを示唆している。
• 正則化手順がハダマード点分割と同等であり、一般相対性を尊重していることが示された。
• 二項係数およびガンマ関数に関する定量的評価が得られ、解枠組みの収束解析を支援した。
• 適切なノルムのもとで解空間が閉じており、収縮的であることが示され、解の存在および一意性が保証された。