[論文レビュー] The cost of continuity: performance of iterative solvers on isogeometric finite elements

Nathan Collier, Lisandro Dalcín+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、反復解法における高連続性等間隔有限要素（C^{p-1} Bスプライン）と標準的な C^0 有限要素の計算コストの増加を分析している。行列-ベクトル積は、C^{p-1} 空間では最大で 8 倍高価になるが、プリコンディショナのセットアップコストは最大で p^3 倍にのぼるが、ILU などの効率的な手法を用いることで顕著に低減される。本研究では、中程度の多項式次数と静的縮約を組み合わせた場合、コスト増加は O(p^2) に限定され、有効なプリコンディショニングと組み合わせれば、高連続性が反復解法において実用的であることが示された。

ABSTRACT

In this paper we study how the use of a more continuous set of basis functions affects the cost of solving systems of linear equations resulting from a discretized Galerkin weak form. Specifically, we compare performance of linear solvers when discretizing using $C^0$ B-splines, which span traditional finite element spaces, and $C^{p-1}$ B-splines, which represent maximum continuity. We provide theoretical estimates for the increase in cost of the matrix-vector product as well as for the construction and application of black-box preconditioners. We accompany these estimates with numerical results and study their sensitivity to various grid parameters such as element size $h$ and polynomial order of approximation $p$. Finally, we present timing results for a range of preconditioning options for the Laplace problem. We conclude that the matrix-vector product operation is at most $\slfrac{33p^2}{8}$ times more expensive for the more continuous space, although for moderately low $p$, this number is significantly reduced. Moreover, if static condensation is not employed, this number further reduces to at most a value of 8, even for high $p$. Preconditioning options can be up to $p^3$ times more expensive to setup, although this difference significantly decreases for some popular preconditioners such as Incomplete LU factorization.

研究の動機と目的

• 高連続性等間隔有限要素（C^{p-1} Bスプライン）を用いた反復解法における計算コストの増加を、標準的な C^0 有限要素と比較して定量的に評価すること。
• 基底の連続性が反復解法における行列-ベクトル乗算、プリコンディショナのセットアップおよび適用コストに与える影響を分析すること。
• ラプラス問題に対する一般的なプリコンディショナ（ヤコビ、SSOR、ILU、EBE、BBB）が、C^{p-1} および C^0 離散化に与える性能を評価すること。
• C^{p-1} 空間の優れた近似特性が、実用的状況下での高いソルバコストを補って十分に価値があるかどうかを評価すること。

提案手法

• C^{p-1} および C^0 Bスプライン離散化における行列-ベクトル積およびプリコンディショナ操作の理論的コスト推定。
• 異なる多項式次数 p および自由度 N におけるラプラス問題に対して、さまざまなプリコンディショナを用いた共役勾配法を用いた数値実験。
• PETSc およびカスタムソルバを用いた実装と計測により、C^{p-1} と C^0 空間間のソルブ時間の比較。
• C^0 離散化のコストを低減するための静的縮約の組み込みと、相対的性能に与える影響の評価。
• ILU、EBE、BBB プリコンディショナを用いて、高連続性空間におけるスケーラビリティと効率性の評価。
• 条件数のスケーリングと反復回数の分析により、異なる連続性レベルにおける収束特性の評価。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C^{p-1} Bスプライン基底関数を用いることで、反復解法における行列-ベクトル乗算コストは C^0 Bスプラインと比較してどの程度増加するか？
• RQ2 C^{p-1} と C^0 離散化において、異なるプリコンディショニング戦略のプリコンディショナセットアップおよび適用コストの相対的コストはどの程度か？
• RQ3 静的縮約は、C^{p-1} と C^0 等間隔離散化の間の性能ギャップをどの程度低減するか？
• RQ4 標準的なプリコンディショナ（例：ILU、SSOR、ヤコビ）は、高連続性空間において収束性および計算コストの観点でどの程度の性能を示すか？
• RQ5 C^{p-1} 空間の優れた近似能力は、その高いソルバコストを補って十分に価値があると実用的状況下で言えるか？

主な発見

• C^{p-1} 空間における行列-ベクトル積は、C^0 空間と比較して最大で 8 倍高価になるが、高次の多項式次数であっても同様である。
• C^0 空間に静的縮約を適用した場合、C^{p-1} 行列-ベクトル積の相対的コストは最大で (33p²)/8 倍にまで上昇するが、p が小さい場合には顕著に低減される。
• EBE および BBB メソッドのプリコンディショナセットアップコストは、ILU に対して p^3 倍に比例するため、C^{p-1} 空間では実用的でないほど高価になる。
• ILU プリコンディショナは、C^{p-1} 空間において自由度が 10⁶ に達するまで、条件数の p スケーリングがほぼ完璧に維持され、強力なスケーラビリティを示している。
• 中程度の問題サイズとラプラス問題において、EBE および BBB プリコンディショナはセットアップコストが高く、反復回数の削減が不十分であるため、実効的でない。
• セットアップコストが高額であっても、ILU は効率的であり、反復回数および総ソルブ時間の両面で良好な性能を示し、特に静的縮約と組み合わせると顕著に優れる。