[論文レビュー] The Cost of Stability in Coalitional Games

Yoram Bachrach, Edith Elkind+5 more|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2009

Game Theory and Voting Systems参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、コoperativeゲームにおけるコалиションの安定性を保つために必要な最小外部支払いを「安定性のコスト（CoS）」として導入する。特に重み付き投票ゲームにおけるCoSの包括的分析を行い、特定のコアリションを安定化させるコストが、全コアリション構造を安定化させるコストより安くなる可能性があることを示し、CoS関連の意思決定問題の計算複雑性についても確立する。

ABSTRACT

A key question in cooperative game theory is that of coalitional stability, usually captured by the notion of the \emph{core}--the set of outcomes such that no subgroup of players has an incentive to deviate. However, some coalitional games have empty cores, and any outcome in such a game is unstable. In this paper, we investigate the possibility of stabilizing a coalitional game by using external payments. We consider a scenario where an external party, which is interested in having the players work together, offers a supplemental payment to the grand coalition (or, more generally, a particular coalition structure). This payment is conditional on players not deviating from their coalition(s). The sum of this payment plus the actual gains of the coalition(s) may then be divided among the agents so as to promote stability. We define the \emph{cost of stability (CoS)} as the minimal external payment that stabilizes the game. We provide general bounds on the cost of stability in several classes of games, and explore its algorithmic properties. To develop a better intuition for the concepts we introduce, we provide a detailed algorithmic study of the cost of stability in weighted voting games, a simple but expressive class of games which can model decision-making in political bodies, and cooperation in multiagent settings. Finally, we extend our model and results to games with coalition structures.

研究の動機と目的

• 空のコアを示すコoperativeゲームの不安定性に対処するために、外部支払いを導入し、安定性を保証すること。
• 安定性のコスト（CoS）を定義し、与えられたコアリションまたはコアリション構造を安定化させるために必要な最小外部補助金を計算すること。
• 重み付き投票ゲームという、協力的ゲームの主要クラスにおいてCoSを決定する計算複雑性を分析すること。
• 協力的ゲームにおけるCoS、最小コア、およびノルムルスの関係を調査すること。
• モデルをコアリション構造および個々のコアリションに拡張し、全分割を安定化させるよりも単一のコアリションを安定化させる方が支払いが少ない場合があることを示すこと。

提案手法

• コoperativeゲームにおける安定な報酬配分を保証するための最小総外部支払いとして、安定性のコスト（CoS）を定義する。
• 外部支払いを、メンバーが離脱しない場合にのみコアリジョンまたはコアリジョン構造に支払われる補助金としてモデル化する。
• 線形計画法とゲーム理論的定式化を用いて、重み付き投票ゲームにおけるCoSを計算する。
• CoS関連の意思決定問題の計算複雑性を分析し、NP困難性およびcoNPに属することを示す。
• 各個々のコアリジョンが安定であることを要求する分割におけるコアリジョン構造へのフレームワークの拡張。
• 単一のコアリジョンを安定化させるコストが、それを含むコアリジョン構造を安定化させるコストより低い例を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コアリジョンゲームのコアが空である場合、グランドコアリジョンを安定化させるために必要な最小外部支払いは何か？
• RQ2 特定のコアリジョンを安定化させる場合と、全コアリジョン構造を安定化させる場合とで、安定性のコストはどのように異なるか？
• RQ3 与えられた外部支払いがゲームを安定化させるかどうかを決定する問題の計算複雑性は何か？
• RQ4 あるコアリジョンを安定化させるためのコストが、それを含む任意のコアリジョン構造を安定化させるコストより厳密に低いことはあり得るか？
• RQ5 安定性のコストは、最小コアやノルムルスといった他の解概念とどのように関係しているか？

主な発見

• 重み付き投票ゲームにおける安定性のコストは計算的に困難であり、意思決定問題はNP困難かつcoNP困難である。
• 特定のコアリジョンを安定化させるには、それを含むコアリジョン構造を安定化させるよりも外部支払いが少ない場合がある。例5.6で示されている。
• 重み付き投票ゲーム [8,8,9,9,1;10] の例では、コアリジョン構造 ({1,2},{3,4},{5}) において、コアリジョン {1,2} を安定化させるには外部支払いがゼロで十分であるが、全CSコアは空である。
• 報酬ベクトル (0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0) は、外部支払いなしにコアリジョン構造 ({1,2},{3,4},{5}) を安定化させる。
• 合計価値が1の3人ゲームにおいて、グランドコアリジョンを安定化させる最小外部支払いは0.5であり、これはプレイヤー1と2がそれぞれ0.5ずつを受領し、プレイヤー3が0を受領する場合に達成される。
• コアリジョンの外の参加者に対しても支払いを行う必要がある場合がある。3人ゲームの例では、プレイヤー3に支払いを行うことで、離脱を防いでいる。