[論文レビュー] The cosupport axiom, equivariant cohomology and the intersection cohomology of certain symplectic quotients

Young‐Hoon Kiem, Jonathan Woolf|ArXiv.org|Jan 31, 2001

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、非正則なモーメント写像の還元から生じる特異なシンプレクティック商の交差コホモロジーを計算するための枠組みを確立する。等長コホモロジーと新しい余コホモロジー条件を用いる。『ほぼバランス』な条件——群作用の重みが軌道型の層に沿って対称的に分布している——の下で、交差コホモロジーがゼロ軌道の等長コホモロジーの自然な部分空間に同型であり、キルワン写像を介してペアリングが保存されることを証明する。

ABSTRACT

Let $M$ be a proper Hamiltonian $K$-space with proper moment map $μ$. The symplectic quotient $X=μ^{-1}(0)/K$ is in general a singular stratified space. In this paper we first generalize the Kirwan map to this symplectic setting which maps the $K$ equivariant cohomology of $μ^{-1}(0)$ to the middle perversity intersection cohomology $IH^*(X)$. Next, we show that there is a natural right inverse of the Kirwan map, under an assumption coming from the cosupport axiom for the intersection homology sheaf. Furthermore, we can identify the subspace of $H^*_K(μ^{-1}(0))$ which corresponds to $IH^*(X)$. The naturality of the splitting ensures that the intersection pairing corresponds to the cup product on equivariant cohomology. Finally, we show that the same set of ideas can be applied to any circle action and prove similar results without any assumption.

研究の動機と目的

• モーメント写像の非正則値における交差コホモロジーの計算を、シンプレクティック商へと拡張すること。
• 非正則還元におけるキルワン写像の全射性および単射性の失敗を扱うこと。
• 新しい余コホモロジー条件を用いて、交差コホモロジーを等長コホモロジーの部分空間として特徴付けること。
• 導来カテゴリの技法と層論的公理を用いて、キルワンの構成を特異な商へ一般化すること。
• 弱いバランスの作用の下で、交差ペアリングが等長コホモロジーにおけるカップ積に対応することを示すこと。

提案手法

• 『ほぼバランス』な条件を導入し、これは軌道型の層に沿った法線に沿った重みの対称的分布と同値であることを示す。
• 導来カテゴリ内に自然な準同型 λ: IC•(M₀) → C•_K(Z) を構成し、キルワン写像 κ を分解する。
• EK ×ₖ Z 上の定数層の導来押し出しを用いて、等長コホモロジー H*ₖ(Z) をモデル化する。
• 余コホモロジー公理を適用し、C•_K(Z) が交差コホモロジー複体 IC•(M₀) をどの程度近似できるかを特徴付ける。
• 円作用の場合は、固定点における正の重みと負の重みの数に基づいて、中間でないperversity nを定義する。
• ハード・リーマンの定理とペアコリューション・デュアルティーを適用し、ケーラー類のべきを用いて I*H(M₀) の完全なリーマン分解を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モーメント写像が正則でない場合、交差コホモロジーがゼロレベル集合の等長コホモロジーから回復可能か？
• RQ2 群作用のどの条件下で、ゼロレベル集合の等長コホモロジーが商の交差コホモロジーを捉えるか？
• RQ3 余コホモロジー公理は、交差コホモロジー複体との関係において、ゼロレベル集合の等長コホモロジーの構造をどのように制約するか？
• RQ4 適切な条件下で、I*H(M₀) 上の交差ペアリングが H*ₖ(Z) 内のカップ積として自然に同定可能か？
• RQ5 理論は円作用へとどのように拡張可能か？この場合、交差コホモロジーを回復するためにどのperversityを用いるべきか？

主な発見

• 『ほぼバランス』な条件下で、キルワン写像 κ を分解する自然な準同型 λ: IC•(M₀) → C•_K(Z) が存在する。
• 交差コホモロジー I*H(M₀) は、非退化ペアリングを備えた自然な部分空間として H*ₖ(Z) と同型な次数付きベクトル空間に同型である。
• 弱いバランスの作用の下で、H*ₖ(Z) の I*H(M₀) に対応する部分空間は、各固定点成分への制限が次数 2d(F)−1 より小さいという条件で特徴付けられる。
• I*H(M₀) 上の交差ペアリングは、H*ₖ(Z) 内のカップ積を経由し、近くの正則還元の基本類への評価によって対応する。
• 円作用の場合は、固定点への制限の次数制約によって定義される H*ₖ(Z) の部分空間に交差コホモロジーが同型であり、正の重みの数に基づいて中間でないperversity n が定義される。
• SU(2) が (P¹)^n に作用する場合、交差ペアコリューション多項式は (1−t²ᵖ)(1−t²ʲ⁺²ʳ)/(1−t²)² であり、次数 2n−2 のパランドローム多項式であり、ハード・リーマンの性質を確認する。