[論文レビュー] The covariant derivatives and energy momentum tensor of spinors

Ying-Qiu Gu, Bijan Saha|ArXiv.org|Sep 13, 2006

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ビアイン形式とスピン接続を伴う共変微分を用いて、曲がった時空におけるワイルスピンとディラックスピンのエネルギー運動量テンソルの明示的表現を導出する。共変微分の簡略化された同等表現を提示し、内在的に対角的な計量ではエネルギー運動量テンソルがスピン接続に依存しないことを示し、長年の文献上の曖昧さを解消する。

ABSTRACT

To understand the coupling behavior of the spinor with spacetime, the explicit form of the energy-momentum tensor of the spinor in curved spacetime is important. This problem seems to be overlooked for a long time. In this paper we derive the explicit form of energy momentum tensors and display some equivalent but simple forms of the covariant derivatives for both the Weyl spinor and the Dirac bispinor in curved spacetime.

研究の動機と目的

• 曲がった時空におけるスピン場のエネルギー運動量テンソルについて、完全かつ明示的な表現が長年欠落していたという問題を解決すること。
• ビアイン形式を用いて、ワイルスピンおよびディラックスピンの共変微分を体系的に導出し、簡略化すること。
• スピン接続の役割と、非対角的および対角的時空計量におけるエネルギー運動量テンソルへの影響を明確にすること。
• 特に自己整合的スピン-重力系において、スピン場と重力の結合を一貫性があり共変な形で定式化すること。

提案手法

• 曲がった時空におけるスピン場を局所ローレンツ枠を用いて表現するため、ビアイン形式を用い、パウリ行列の類似物として ρμ および ṽρμ を導入する。
• ビアインとスピン接続からスピン接続のアフィン接続 Γμ および Ḡμ を導出し、計量とねじれなし条件を満たすようにする。
• ワイルスピンおよびディラックスピンのチャーミカル表現に共変微分 ∇μ = ∂μ + Γμ を適用し、局所ローレンツ不変性を保証する。
• エネルギー運動量テンソルを計量テンソルに関するラグランジアンの汎関数微分により計算する。Tμν = −2∂ℒm/∂gμν − gμνℒm。
• 内在的に対角的計量において Ω = ṽΩ = Sμν|nα = 0 とすることでエネルギー運動量テンソルを簡略化し、接続に依存しない形を得る。
• Γμ および Ḡμ のトレースがゼロであることを示し、結果の妥当性を検証することで、それらが純粋に幾何的であり、力学的自由度を含まないことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の曲がった時空におけるスピン場のエネルギー運動量テンソルの明示的かつ共変な形は何か？
• RQ2 ワイルスピンおよびディラックスピンの共変微分は、より扱いやすく同等の形にどのように簡略化できるか？
• RQ3 なぜスピン場のエネルギー運動量テンソルは、特に非対角的計量において、しばしば不完全または曖昧な形で記述されるのか？
• RQ4 スピン接続のエネルギー運動量テンソルにおける役割は何か？どのような条件下でそれが分離するのか？
• RQ5 なぜビアイン形式が、曲がった時空におけるスピン場と重力の結合の不整合を解消するのか？

主な発見

• 内在的に対角的計量におけるワイルスピンのエネルギー運動量テンソルは、Tμν = (1/2)Re⟨ψ⁺(ρμi∂ν + ρνi∂μ)ψ + ṽψ⁺(ṽρμi∂ν + ṽρνi∂μ)ṽψ⟩ − gμνℒm で与えられ、スピン接続に依存しない。
• ディラックバイスピンでは、エネルギー運動量テンソルは Tμν = (1/2)Re⟨ϕ⁺γ⁰(ϱμi∂ν + ϱνi∂μ)ϕ⟩ − gμνℒm に簡略化され、再び対角的計量ではスピン接続に依存しない。
• スピン接続のアフィン接続 Γμ および Ḡμ はトレースがゼロであり、純粋に幾何的であり、力学的自由度を含まない。これにより、曲がった時空におけるゲージ的接続としての役割が裏付けられる。
• 非対角的計量では、エネルギー運動量テンソルはスピン接続および非ゼロの Ω および Sμν|nα 項に依存し、より複雑で透明性に欠ける表現となる。
• 汎関数微分によるエネルギー運動量テンソルの導出が一貫性があり共変であることが確認され、文献における過去の曖昧さが解消された。
• 共変微分およびエネルギー運動量テンソルの簡略化された形は、ワイルスピンおよびディラックスピンの両方に対して有効であり、自己整合的スピン-重力モデルに適用可能である。