[論文レビュー] The Cox Ring of a Del Pezzo Surface Has Rational Singularities

О. Н. Попов|ArXiv.org|Feb 10, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、一般位置にある $ r \leq 8 $ 個の点を $ \mathbb{P}^2 $ 上にブ lowing upして得られる滑らかなデル・ペッツォ表面 $ X_r $ のコックス環が特徴値0の代数的閉体上でゴレンシュタイン的であり、そのスペクトラム $ \mathbb{A}(X_r) $ が有理特異点を持つことを証明している。この結果は、単位的群作用の不変式環としてコックス環を記述することにより得られ、正規性、因子的性、およびコホモロジー群の消滅を用いて有理特異点とゴレンシュタイン性を導出する。

ABSTRACT

For a smooth Del Pezzo surface the direct sum of global sections of all isomorphism classes of invertible sheaves on it can be almost canonically endowed with a ring structure, called the Cox ring. We show that in characteristic 0 this ring is Gorenstein and its spectrum has rational singularities. Also a gap in math.AG/0309111 is pointed out.

研究の動機と目的

• デル・ペッツォ表面のコックス環のスペクトラムが特徴値0において有理特異点を持つことを確立すること。
• 滑らかなデル・ペッツォ表面（次数 $ 9 - r $、$ r \leq 8 $）に対して、コックス環がゴレンシュタイン的であり、したがってコーエン・マカウレイ的であることを証明すること。
• 先行研究における欠落を補い、不変式論的およびコホモロジー的技法を用いてゴレンシュタイン性および有理特異点性の完全な証明を提供すること。

提案手法

• コックス環 $ \operatorname{Cox}(X_r) $ が単位的群作用の不変式環として実現され、正規的かつ因子的であることが保証される。
• スペクトラム $ \mathbb{A}(X_r) = \operatorname{Spec} \operatorname{Cox}(X_r) $ は、$ X_r $ 上のユニバーサルトーシュとしての構造を介して分析され、$ T $-作用が $ \mathbb{G}_m $-作用を通じて因数分解される。
• $ n \geq 0 $ に対して $ H^i(\mathbb{P}(X_r), \mathcal{O}(n)) $ の高次コホモロジー群の消滅を用いて、有理特異点を確立する。
• $ \mathbb{P}(X_r) $ の反標準クラスが、基本的表面からのチャーン類の引き戻しを用いて、$ \operatorname{Pic}(\mathbb{P}(X_r)) $ の正の生成元の $ 9 - r $ 倍に等しいことが計算される。
• $ r $ についての帰納法を用い、$ r \leq 7 $ に対して $ \mathbb{P}(X_{r+1}) $ が $ \mathbb{A}(X_r) $ に同型なチャートで被覆されることを用い、$ \mathbb{P}(X_{r+1}) $ の特異点を $ \mathbb{A}(X_r) $ の特異点と関連付ける。
• 標準的モジュールを持つコーエン・マカウレイ的で、有限生成な代数がゴレンシュタイン的であるという標準的な可換代数論を用いて、ゴレンシュタイン性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デル・ペッツォ表面のコックス環のスペクトラムは特徴値0において有理特異点を持つのか？
• RQ2 デル・ペッツォ表面のコックス環は特徴値0においてゴレンシュタイン的かつコーエン・マカウレイ的なのか？
• RQ3 $ \mathbb{P}(X_r) $ の反標準クラスは何か？ そしてそれは表面の次数とどのように関係するか？
• RQ4 コックス環 $ \operatorname{Cox}(X_r) $ のゴレンシュタイン性および有理特異点性は、不変式論的およびコホモロジー的技法を用いて確立可能か？
• RQ5 [B-P] で主張されている、$ r=8 $ の場合にコックス環が例外的曲線の切断と反標準線分束によって生成されることの主張は、完全に正当化されているのか？

主な発見

• デル・ペッツォ表面のコックス環のスペクトラム $ \mathbb{A}(X_r) $ は特徴値0において有理特異点を持つ。
• コックス環 $ \operatorname{Cox}(X_r) $ は特徴値0においてゴレンシュタイン的であり、したがってコーエン・マカウレイ的である。
• $ \mathbb{P}(X_r) $ の反標準クラスは、$ \operatorname{Pic}(\mathbb{P}(X_r)) $ の正の生成元の $ 9 - r $ 倍に等しく、これは $ \mathbb{Z} $ に同型である。
• $ r \leq 8 $ に対して、$ \mathbb{P}(X_r) $ は帰納法とコホモロジーの消滅により、有理ゴレンシュタイン特異点を持つ。
• コックス環は、単位的群作用の不変式環として得られるため、因子的かつ正規的である。
• [B-P] の命題3.4における証明の欠落が特定された：$ \operatorname{Cox}(X_8) $ が例外的曲線の切断によって生成されることの主張は完全に正当化されておらず、未解決のまま残っている。