[論文レビュー] The Cox Ring of $\bar{M}_{0,6}$

Ana-Maria Castravet|arXiv (Cornell University)|May 1, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$¯{M}_{0,6}$ のコックス環が、境界除算面とキール＝ヴェルマイア除算面に対応するセクションによって有限生成であることを証明している。これらは、$¯{M}_{0,6} \to \u00af{M}_3$ で3組のマークド点を同一視する写像を介して、$¯{M}_3$ 内のハイパーオービック曲線の分岐集合の引き戻しとして得られる。この結果により、ハッセットとツシンケルによる $¯{M}_{0,6}$ の有効なコーンの記述が、自立的で代数的な証明となり、境界除算面とキール＝ヴェルマイア除算面によって生成されることを確認する。

ABSTRACT

We prove that the Cox ring of $\bar{M}_{0,6}$, the moduli space of stable, rational curves with 6 marked points, is finitely generated by sections corresponding to the boundary divisors and divisors which are pull-backs of the hyperelliptic locus in $\bar{M}_3$, the moduli space of stable, genus 3 curves, via morphisms that send a 6-pointed rational curve to a curve with 3 nodes by identifying 3 pairs of points. In particular, this gives a self-contained proof of Hassett and Tschinkel's result about the effective cone of $\bar{M}_{0,6}$ being generated by the above mentioned divisors.

研究の動機と目的

• Hu と Keel が提起した、$n=6$ の場合の $¯{M}_{0,n}$ のコックス環の有限生成性に関する予想を解決すること。
• ハッセットとツシンケルの結果、すなわち $¯{M}_{0,6}$ の有効なコーンが境界除算面とキール＝ヴェルマイア除算面によって生成されることの、自立的で代数的な証明を提供すること。
• $\u00af{M}_{0,6}$ のコックス環が、境界除算面 $\Lambda_{ijk}$, $E_i$, $E_{ij}$ およびキール＝ヴェルマイア除算面 $Q_{(ij)(kl)}$ のセクションによって生成されることを確立すること。
• $\u00af{M}_{0,6}$ のコックス環の有限生成性を証明することにより、$\u00af{M}_{0,6}$ がモーリー・ドリーム・スペースであることを示すこと。

提案手法

• Kapranov の $\u00af{M}_{0,6}$ の記述を用い、$\mathbb{P}^3$ の5点およびそれらを結ぶ直線の正規化を繰り返し吹き上げたものとして表現する。
• 除算面 $D = dH - \sum m_i E_i - \sum m_{ij} E_{ij}$ を、主要な部分多様体（平面 $\Lambda_{ijk}$ および四次曲面 $Q_{(ij)(kl)}$）に制限する。
• 一般でない7点の $\mathbb{P}^2$ の吹き上げから得られる多重度推定と不等式を用いて、有効な除算類を制約する。
• 制限公式を用いて、$D|_{\Lambda_{ijk}}$ および $D|_{Q_{(ij)(kl)}}$ をそれぞれの多様体上のヒッパーサーフェスと例外的除算面の言語で表現する。
• 吹き上げられた $\mathbb{P}^2$ 上の有効除算面に関する補題7.3を適用し、有効制限に必要な不等式を導出する。
• 複数の部分多様体への制限を組み合わせることで、コックス環内の有効除算類を特徴付ける不等式系を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コックス環 $\u00af{M}_{0,6}$ は有限生成であり、もしそうなら、どの明示的なセクションによって生成されるか？
• RQ2 境界除算面とキール＝ヴェルマイア除算面は、$\u00af{M}_{0,6}$ の有効なコーンを生成するか？
• RQ3 コンピュータによるチェックに依存せずに、$\u00af{M}_{0,6}$ のコックス環の有限生成性を確立できるか？
• RQ4 $\u00af{M}_{0,6}$ がモーリー・ドリーム・スペースであることは、そのコックス環の明示的生成元から導かれるか？
• RQ5 ハイパーオービック曲線の分岐集合の引き戻しとして得られるキール＝ヴェルマイア除算面—$\u00af{M}_3$ 内のもの—は、コックス環を十分に生成するか？

主な発見

• $\u00af{M}_{0,6}$ のコックス環は、境界除算面 $\Lambda_{ijk}$, $E_i$, $E_{ij}$ およびキール＝ヴェルマイア除算面 $Q_{(ij)(kl)}$ に対応するセクションによって有限生成である。
• $D$ を各 $\Lambda_{ijk}$ に制限すると、有効性を保証するための不等式 $d \geq m_i + m_{jk}$, $d \geq m_{ij} + m_{ik} + m_{jk} + m_{uv}$, および $2d \geq m_i + m_j + m_k + m_{uv}$ が得られる。
• $D$ を各 $Q_{(ij)(kl)}$ に制限すると、有効性に必要な不等式 $2d \geq m_5 + m_{13} + m_{14} + m_{23} + m_{24}$ および $2d \geq m_1 + m_5 + m_{23} + m_{24}$ が得られる。
• この証明により、$\u00af{M}_{0,6}$ がコックス環の有限生成性を満たすため、モーリー・ドリーム・スペースであることが示された。
• この結果により、ハッセットとツシンケルによる $\u00af{M}_{0,6}$ の有効なコーンの記述が、自立的かつ非計算的証明となり、指定された除算面によって生成されることを確認した。
• $\Lambda_{ijk}$ および $Q_{(ij)(kl)}$ への制限の方法は、コックス環内のすべての有効除算類を効果的に特徴づけることに成功した。