[論文レビュー] The critical 2D delta-Bose gas as mixed-order asymptotics of planar Brownian motion

Yu-Ting Chen|arXiv (Cornell University)|May 11, 2021

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ひとこと要約

本稿は、臨界的2次元δ-ボーズ系における近似セミグループの点収束を、δポテンシャルの滑らかなモリフィケーションを用いて確立する。2次元Bessel過程の点跡理論と平面ブラウン運動の回転のエルゴディシティを用いる。主な結果は、有界可測関数の空間における収束を示し、以前の$L^2$-リゾルベント収束を拡張するとともに、極限をカリアンプル＝ロビンズの法則およびカサハラの2次フラクチュエーション法則と結びつける。

ABSTRACT

We consider the 2D delta-Bose gas by a smooth mollification of the delta potential, where the coupling constant is in the critical window. The main result proves that for two particles, the approximate semigroups on $\mathscr B_b(\Bbb R^2)$ for the Schrödinger operator with singular interaction at the origin converge pointwise in the initial condition. This convergence extends earlier functional analytic results for the convergence in the $L_2$-norm resolvent sense. The central methods introduced here apply the excursion theory of the 2D Bessel process and the ergodicity of the winding number of planar Brownian motion. The limiting semigroup thus shows both the Kallianpur--Robbins law for additive functionals of planar Brownian motion and Kasahara's second-order law for the fluctuations. As an application, the mode of convergence is extended to the $N$-particle delta-Bose gas for all $N\geq 3$.

研究の動機と目的

• 以前の$L^2$-ノルムリゾルベント収束を超えて、$\mathscr{B}_b(\mathbb{R}^2)$ 上での2次元δ-ボーズ系の近似セミグループの初期条件における点収束を確立すること。
• 相互作用強度の臨界ウィンドウを捉える、$\Lambda_\varepsilon = \frac{2\pi}{\log \varepsilon^{-1}} + \frac{2\pi\lambda}{(\log \varepsilon^{-1})^2}$ という臨界結合定数の設定を分析すること。
• 点跡理論を用いて、極限セミグループを平面ブラウン運動の加法的関数と結びつけること。
• Poissonian表現と経路集合技術を用いて、2粒子系からすべての$N \geq 3$ に対する$N$粒子δ-ボーズ系への収束結果を拡張すること。

提案手法

• δポテンシャルの滑らかなモリフィケーション $\phi_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-2}\phi(\varepsilon^{-1}x)$ を用いて、近似ハミルトニアン $H_\varepsilon = -\Delta_x - \Lambda_\varepsilon \phi_\varepsilon(x)$ を定義する。
• 2次元Bessel過程の点跡理論を用いて、平面ブラウン運動の局所時刻と加法的関数を分析する。
• 平面ブラウン運動の回転数のエルゴディシティを用いて、セミグループの長時間漸近的挙動を導出する。
• 近似セミグループのラプラス変換と径対称性の漸近挙動を用いて、初期条件における収束を導出する。
• 局所時刻の指数関数的関数のPoissonian表現を用いて、$N$粒子系への収束を拡張する。
• 三角関数 $\cos$、双曲線余弦関数 $\cosh$、およびベッセル関数 $J_0$ を含む特殊関数の恒等式を用いて、指数関数的関数の期待値の明示的表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界結合定数の設定下で、δポテンシャルの滑らかなモリフィケーションを施した2次元δ-ボーズ系のセミグループは、初期条件において点収束するか？
• RQ2 平面ブラウン運動の加法的関数は、δ-ボーズ系の極限セミグループとどのように関係するか？
• RQ3 カリアンプル＝ロビンズの法則とカサハラの2次フラクチュエーション法則は、この臨界的2次元設定において混合順序の漸近的挙動として回復可能か？
• RQ4 2粒子系におけるセミグループの収束に、回転数のエルゴディシティが果たす役割は何か？
• RQ5 2粒子系の収束結果を、$N \geq 3$ に対する$N$粒子δ-ボーズ系へ拡張可能か？

主な発見

• 2次元δ-ボーズ系の近似セミグループ $P^\beta_{\varepsilon;t}$ は、$\mathscr{B}_b(\mathbb{R}^2)$ 上で初期条件において極限セミグループ $P^\beta_t$ に点収束する。これは、以前の$L^2$-リゾルベント収束を拡張するものである。
• 極限セミグループは、点跡理論と回転数のエルゴディシティを用いて、平面ブラウン運動の加法的関数に対するカリアンプル＝ロビンズの法則を満たす。
• セミグループは、結合定数 $\Lambda_\varepsilon$ の臨界スケーリングに起因するカサハラの2次フラクチュエーション法則を示す。
• $N \geq 3$ に対して、局所時刻の指数関数的関数のPoissonian表現を用いて、収束を$N$粒子δ-ボーズ系へ拡張する。
• 局所時刻の指数関数的関数の期待値について明示的公式が得られる：$\mathbb{E}_{\log a}\left[\exp\left\{\nu \int_0^{T_{\log b}(\beta)} \mathds{1}_{(-\infty, \log M]}(\beta_v) dv \right\} \right] = \frac{\cos(\log(M/(a \wedge M)) \sqrt{2\nu})}{\cos(\log(M/(b \wedge M)) \sqrt{2\nu})}$ （$M e^{-\pi/(2\sqrt{2\nu})} < b \leq a$ のとき）。
• 積分表現が得られる：$\mathbb{E}_{\log a}\left[\exp\left\{\nu \int_0^{T_{\log b}(\beta)} e^{2\beta_v} dv \right\} \right] = \frac{\int_{-1}^1 (1-t^2)^{-1/2} \cos(a\sqrt{2\nu}t) dt}{\int_{-1}^1 (1-t^2)^{-1/2} \cos(b\sqrt{2\nu}t) dt}$ （$0 < a \leq b < j_{0,1}/\sqrt{2\nu}$ のとき）、ここで $j_{0,1} \approx 2.40483$ は $J_0$ の最初の正の零点である。