[論文レビュー] The critical Branching Markov Chain is transient

Nina Gantert, Sebastian Mueller|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2005

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 6被引用数 31

ひとこと要約

本稿では、臨界の分岐マルコフ連鎖（BMC）が瞬発的であることを確立している。これは、任意の状態がほとんど確実に無限回訪問されないことを意味する。本稿はスペクトル半径解析と超調和関数を用いて瞬発性を証明し、平均子孫数がスペクトル半径の逆数に等しいときでさえ、帰還確率が無限回にわたって正のまま保たれないことを示している。これは、非可約な運動と一定の分岐率のもとでも成立する。

ABSTRACT

We investigate recurrence and transience of Branching Markov Chains (BMC) in discrete time. Branching Markov Chains are clouds of particles which move (according to an irreducible underlying Markov Chain) and produce offspring independently. The offspring distribution can depend on the location of the particle. If the offspring distribution is constant for all locations, these are Tree-Indexed Markov chains in the sense of \cite{benjamini94}. Starting with one particle at location $x$, we denote by $α(x)$ the probability that $x$ is visited infinitely often by the cloud. Due to the irreducibility of the underlying Markov Chain, there are three regimes: either $α(x) = 0$ for all $x$ (transient regime), or $0 < α(x) < 1$ for all $x$ (weakly recurrent regime) or $α(x) = 1$ for all $x$ (strongly recurrent regime). We give classification results, including a sufficient condition for transience in the general case. If the mean of the offspring distribution is constant, we give a criterion for transience involving the spectral radius of the underlying Markov Chain and the mean of the offspring distribution.

研究の動機と目的

• 一般で場所に依存する子孫分布を有する分岐マルコフ連鎖（BMC）の再帰的・瞬発的挙動を分類すること。
• 平均子孫数がスペクトル半径の逆数に等しい臨界BMCが、再帰的か瞬発的かを特定すること。
• 超調和関数とスペクトル半径理論を用いて、一般のBMCにおける瞬発的条件を確立すること。
• 準推移的または一様収束の仮定の下で、弱い再帰的領域は発生せず、再帰性が強い再帰性を意味することを示すこと。

提案手法

• 基礎となる非可約マルコフ連鎖 $P$ のスペクトル半径 $\rho(P)$ を $\limsup_{n\to\infty} p^{(n)}(x,y)^{1/n}$ として定義し、帰還確率の減衰率を特徴付ける。
• 正の関数 $f$ が $Pf \leq t f$ を満たすような $t$-超調和関数を用い、$\rho(P)$ を、このような正の関数が存在するような $t > 0$ の下界として特徴付ける。
• 帰還確率 $p^{(k_i)}(x_{s_i},x_{s_i})$ が $m^{-k_i}$ を超えるような定期的間隔 $k_i$ でBMCを観測することにより、埋め込みガルトン＝ワトソン過程の系列を構築し、超臨界性を保証する。
• 準推移性のもとで有限個の軌道に限定されることを活用し、これらの埋め込み過程の絶滅確率が1から一様に離れていることを示し、無限回の帰還確率が正であることを示す。
• ペロン＝フロベニウスの定理を適用して、$\mathbb{Z}^d$ 上の対称ランダムウォークにおける $\rho(P)$ を計算し、$\rho(P) = 2\sum_{i=1}^d \sqrt{p_i^+ p_i^-}$ を得る。
• 臨界閾値 $m_c = 1 / \rho(P)$ を導出し、$m \leq m_c$ のときBMCは瞬発的であり、$m > m_c$ のとき強い再帰的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平均子孫数が $1/\rho(P)$ に等しい臨界の分岐マルコフ連鎖は、再帰的か瞬発的か？
• RQ2 子孫分布および基礎となるマルコフ連鎖にどのような一般的条件を課せば、瞬発的であることが保証されるか？
• RQ3 弱い再帰的領域（すべての $x$ に対して $0 < \alpha(x) < 1$）は実際に発生するのか、それとも対称性または一様性の仮定のもとで除外されるのか？
• RQ4 子孫平均が定数であるとき、再帰／瞬発的分類がスペクトル半径条件に還元可能か？
• RQ5 基礎となるマルコフ連鎖の構造（例：$\mathbb{Z}^d$ 上の対称ランダムウォーク）が臨界分岐強度にどのように影響するか？

主な発見

• 臨界の分岐マルコフ連鎖は瞬発的である：平均子孫数 $m = 1/\rho(P)$ のとき、任意の状態 $x$ が無限回訪問される確率 $\alpha(x)$ はすべての $x$ に対してゼロである。
• 対称ランダムウォークを $\mathbb{Z}^d$ 上で行う場合、BMCは $m > 1 / \left(2 \sum_{i=1}^d \sqrt{p_i^+ p_i^-} \right)$ のとき強く再帰的であり、それ以外の場合は瞬発的である。
• $\mathbb{Z}$ 上のドリフト $p \in (0,1)$ を有するランダムウォークの場合、$m \leq 1 / (2\sqrt{p(1-p)})$ のときBMCは瞬発的であり、$m > 1 / (2\sqrt{p(1-p)})$ のとき強く再帰的である。
• 準推移性のもとでは弱い再帰的領域は発生しない：基礎となる連鎖が準推移的で、子孫平均が定数のとき、すべての $x$ に対して $\alpha(x) = 0$（瞬発的）またはすべての $x$ に対して $\alpha(x) = 1$（強く再帰的）のいずれかである。
• スペクトル半径条件が満たされているとき、帰還時刻に構築された埋め込みガルトン＝ワトソン過程の絶滅確率は1から一様に離れているため、瞬発的でない場合に無限回の帰還確率が正であることが保証される。
• 本結果は先行研究における不一致を解消する：[3]の定理4.3における不等号は $<$ ではなく $\leq$ であるべきであり、臨界閾値でも瞬発的であることが確認された。