[論文レビュー] The critical CoHA of a self dual quiver with potential

Ben Davison|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、自己双対な有ポテンシャルのクーヴァーに対する臨界コhomological Hall代数（CoHA）が、BPS状態に対応する生成部品を持つ自由な超可換代数であることを確立する。この構造により、特徴関数としての自由超可換代数の性質を用いて、精錐ドナルドソン＝トーマス不変量における無限積公式が説明され、自己双対性下でのBPS状態空間の有限次元性に関する証拠が得られる。

ABSTRACT

In this paper we provide an explanation for the many beautiful infinite product formulas for generating functions of refined DT invariants for symmetric quivers with potential: they are characteristic functions of free supercommutative algebras. We prove this by first showing that, for a quiver with potential that satisfies a notion of self duality, introduced below, the critical cohomological Hall algebra is supercommutative, and admits a kind of localised coproduct, which is enough to guarantee freeness. The primitive graded pieces of the space of generators of the cohomological Hall algebra are a putative definition of the space of BPS states in String Theory, and we discuss the issue of their finite-dimensionality. We consider the conjecture that in the presence of the above-mentioned self duality these spaces are always finite-dimensional, and finish with some examples, in which, amongst other things, this conjecture can be seen to hold. Some of these examples use a cohomological dimensional reduction of the sort used by Behrend, Bryan and Szendr\H{o}i to calculate the motivic DT invariants of $\mathbb{C}^3$. We prove the required isomorphism holds in the appendix. The final example pulls together all of the technology in this paper to describe the link between critical CoHAs and character varieties: we build a free supercommutative critical CoHA out of the cohomology of untwisted character varieties, and present some evidence that the spaces of primitive generators in this case are given by the cohomology of their twisted counterparts. In a separate paper we discuss our other main example, which yields a new proof of the Kac conjecture.

研究の動機と目的

• 対称的有ポテンシャルクーヴァーに対する精錐ドナルドソン＝トーマス不変量における無限積公式の起源を明らかにすること。
• 自己双対な有ポテンシャルクーヴァーの臨界CoHAが超可換的であり、局所化されたコプロダクト構造を備えていることを証明し、代数の自由性を保証すること。
• CoHAにおける原始的生成部品の空間をBPS状態の候補として定義し、その有限次元性を検討すること。
• 臨界CoHAを非ねじれキャラクター多様体と関連づけ、非ねじれキャラクター多様体のコホモロジーから自由超可換臨界CoHAを構成すること。
• 次元削減およびコホモロジー的技法を用いて、自己双対性下でのBPS状態空間の有限次元性の予想に対する証拠を提供すること。

提案手法

• 臨界CoHAが超可換的であることを保証する、有ポテンシャルクーヴァーに対する自己双対性の概念を導入する。
• 臨界CoHAに局所化されたコプロダクト構造を構成し、代数の自由性を示すのに十分であることを示す。
• ベイジッド、ブライアン、シュエンドルーリにインspiredされたコホモロジー的次元削減技法を用いて、モチーフ的DT不変量を計算する。
• 臨界CoHAを非ねじれおよびねじれキャラクター多様体と関連づけ、原始的生成部品がねじれキャラクター多様体のコホモロジーに実現可能であることを示す。
• 補遺で関連するコホモロジー的構成の同型を証明し、主な技術的主張を裏付ける。
• 同伴論文で詳細に示されるように、本フレームワークを重要な例に適用し、カク予想の新しい証明を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ対称的有ポテンシャルクーヴァーに対する精錐ドナルドソン＝トーマス不変量は無限積公式を示すのか。その背後にある代数的構造は何か。
• RQ2 有ポテンシャルクーヴァーの臨界コホモロジー的ホール代数が超可換的で自由となる条件は何か。
• RQ3 自己双対な有ポテンシャルクーヴァーにおいて、臨界CoHAの原始的次数付き成分（BPS状態空間と提案される）は有限次元的か。
• RQ4 非ねじれおよびねじれキャラクター多様体のコホモロジーは、臨界CoHAの構造とどのように関係しているか。
• RQ5 自己双対な有ポテンシャルクーヴァーのフレームワークを用いて、カク予想を証明または支持できるか。

主な発見

• 自己双対な有ポテンシャルクーヴァーの臨界CoHAが、局所化されたコプロダクトから生じる自由な超可換代数であることが証明された。
• 精錐DT不変量における無限積公式は、自由超可換代数の特徴関数として説明される。
• 臨界CoHAの原始的生成部品は、弦理論におけるBPS状態の候補としての定義として特定された。
• 自己双対性下で原始的生成部品の空間が有限次元的である証拠が得られ、重要な予想を支持する。
• 非ねじれキャラクター多様体のコホモロジーから自由超可換臨界CoHAを構成し、ねじれキャラクター多様体のコホモロジーと関連づけることに成功した。
• 本フレームワークにより、同伴論文で詳細に示されるように、カク予想の新しい証明が得られた。