[論文レビュー] The critical contact process in a randomly evolving environment dies out

Jeffrey E. Steif, Marcus Warfheimer|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、ランダムに変化する環境下での臨界接触過程（CPREE）が、標準接触過程に関する Bezuidenhout と Grimmett の古典的結果を拡張して、ほとんど確実に消滅することを確立している。著者らは、初期の背景環境設定に関係なく、感染率が臨界値にある場合に生存が不可能であることを証明し、有限生存と無限生存がこのモデルにおいて同値であることを示し、1次従属過程を用いた粗大化（renormalization）による議論により、臨界における消滅を確認した。

ABSTRACT

Bezuidenhout and Grimmett proved that the critical contact process dies out. Here, we generalize the result to the so called contact process in a random evolving environment (CPREE), introduced by Erik Broman. This process is a generalization of the contact process where the recovery rate can vary between two values. The rate which it chooses is determined by a background process, which evolves independently at different sites. As for the contact process, we can similarly define a critical value in terms of survival for this process. In this paper we prove that this definition is independent of how we start the background process, that finite and infinite survival (meaning nontriviality of the upper invariant measure) are equivalent and finally that the process dies out at criticality.

研究の動機と目的

• 標準接触過程の臨界接触過程が消滅することを示す古典的結果を、ランダムに変化する環境の状況に拡張すること。
• 回復率が独立な背景過程に従って2つの値をとるCPREEモデルを分析すること。
• 生存の臨界値が初期の背景設定に依存しないことを証明すること。
• CPREEモデルにおける有限生存と無限生存が同値であることを確立すること。
• 時間変動する回復ダイナミクスが存在する場合でも、感染率が臨界値にあるとき、過程が消滅することを示すこと。

提案手法

• 著者らは、$C_t$ が感染状態を追跡し、$B_t$ が回復率状態を追跡する $\{0,1\}^{{\mathbb{Z}}^{d}} \times \{0,1\}^{{\mathbb{Z}}^{d}}$ 上のマルコフ過程としてCPREEをモデル化する。
• 生存に正の確率が存在するような感染率の下限として臨界値 $\lambda_c$ を定義し、上位不変測度 $\bar{\nu}_\lambda$ と関連付ける。
• 空間的ブロック $\mathcal{A}$ 及びその反射を用いて、経路伝播のための空間的・時間的構造を構築する粗大化議論を構築する。
• ブロック内の活性クラスタの存在を追跡する1次従属過程 $\{X_n(i)\}$ を用いて、オリエンテッド永続化（oriented percolation）と比較可能であるように分析する。
• 確率的支配（stochastic domination）を活用：高い密度を持つ1次従属過程が、上昇したオリエンテッド永続化過程を支配することを示す。
• 鍵となる技術的ステップとして、臨界パrameterの微小な摂動下で、ブロック間を横断する活性経路が正の確率で存在することをLemma 4.10を用いて確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムに変化する環境下の臨界接触過程は、古典的状況と同様に消滅するか？
• RQ2 CPREEモデルにおける生存の臨界値は、背景過程の初期設定に依存しないか？
• RQ3 CPREEモデルにおいて、有限生存と無限生存は同値か？
• RQ4 1次従属過程を用いた粗大化アプローチにより、臨界における消滅結果を確立できるか？
• RQ5 CPREEモデルは、標準接触過程と同様に完全収束定理（complete convergence theorem）を満たすか？

主な発見

• ランダムに変化する環境下の臨界接触過程は、ほとんど確実に消滅する。これは、Bezuidenhout と Grimmett の結果を動的環境に拡張したものである。
• 生存の臨界値は、背景過程の初期設定に依存せず、臨界閾値のロバスト性を保証する。
• CPREEモデルにおいて、有限生存と無限生存は同値である。これは、非自明な上位不変測度が、過程が正の確率で生存する場合にのみ存在することを意味する。
• 空間的ブロックと1次従属過程に基づく粗大化議論により、臨界における消滅が確立された。
• 著者らは、高い密度を持つ1次従属過程が、上昇したオリエンテッド永続化過程を確率的に支配することを示し、生存に関する議論を可能にした。
• 結果として、時間変動する回復率が存在する場合でも、CPREEモデルは臨界において生存を維持しないことが確認された。