[論文レビュー] The critical group of a directed graph

David G. Wagner|ArXiv.org|Oct 25, 2000

Finite Group Theory Research参考文献 7被引用数 28

ひとこと要約

本稿では、整数上での転置ラプラシアン行列の余核を用いて、非有向グラフの臨界群を有向グラフへ一般化する。強連結な有向グラフに対しては、臨界群がチップ・ファイアリングダイナミクスと安定配置の同値類によって関連づけられることを確立し、非有向グラフにおいては、縮約された臨界群がグラフのマトロイドにのみ依存することを証明する一方で、同じ濃度を持つにもかかわらず、スパニングツリーと臨界群の間には自然な双対写像が存在しないことを示す。

ABSTRACT

The critical group K(G) of a directed graph G=(V,E) is the cokernel of the transpose of the Laplacian matrix of G acting on the integer lattice Z^V. For undirected graphs G, this has been considered by Bacher, de la Harpe, and Nagnibeda, and by Biggs. We prove several things, among which are: K(G/p) is a subgroup of K(G) when p is an equitable partition and G is strongly connected; for undirected graphs, the torsion subgroup of K(G) depends only on the graphic matroid of G; and, the `dollar game' of Biggs can be generalized to give a combinatorial interpretation for the elements of K(G), when G is strongly connected.

研究の動機と目的

• 整数上での転置ラプラシアン行列の余核を用いて、非有向グラフから有向グラフへの臨界群理論を拡張すること。
• 有向グラフの文脈において、臨界群の構造的不変量、特にランクと生成元の数を調査すること。
• 非有向グラフの臨界群が、そのグラフのグラフ的マトロイドにのみ依存するかどうかを特定すること。
• 非有向グラフにおいて、スパニングツリーの集合と臨界群の要素との間に自然な双対写像が存在するかを検討すること。
• ビッグスのドルゲームを強連結な有向グラフへ一般化し、臨界群の要素を組合せ的に解釈すること。

提案手法

• 臨界群 K(G) を、Z^V 上で作用する転置ラプラシアン行列の余核のねじれ部分群として定義する。
• 転置ラプラシアン行列のスミス標準形を用いて、臨界群の不変因子を計算する。
• 強連結グラフの公平な分割を導入し、K(G/π) が K(G) に埋め込まれることを証明する。
• 縮約された臨界群 K(G) の要素とチップ・ファイアリングゲームにおける臨界配置の同値類との対応関係を確立する。
• 非有向グラフにおいて、K(G) がグラフのマトロイドにのみ依存することを示すため、マトロイド同型写像に関して不変であることを証明する。
• ドルゲームを強連結な有向グラフへ一般化し、臨界配置が K(G) の要素と双対的に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有向グラフ G に対して、その縮約された臨界群 K(G) が、グラフのマトロイドにのみ依存するか？
• RQ2 非有向グラフ G のスパニングツリーの集合と、その臨界群 K(G) の要素との間に自然な双対写像が存在するか？
• RQ3 非有向グラフにおけるドルゲームを、強連結な有向グラフへ一般化できるか。その場合、K(G) の要素が臨界配置の同値類に対応するか？
• RQ4 強連結な有向グラフ G と指定されたバンク頂点 $ に対して、すべての同値類の配置が正確に h($) のサイズを持つのはいつか？
• RQ5 与えられた頂点が、同値類サイズの文脈で「小さい」または「公平な」ものかどうかを判定する多項式時間アルゴリズムは存在するか？

主な発見

• 任意の有向グラフ G に対して、双対臨界群 K*(G) は臨界群 K(G) に同型であるが、一般には自然な同型ではない。
• G が強連結で、π が公平な分割であるとき、K(G/π) は K(G) の部分群に同型である。
• 非有向グラフにおいて、縮約された臨界群 K(G) は、G のグラフ的マトロイドにのみ依存する。
• 連結な非有向グラフ G のスパニングツリーの集合と K(G) の要素との間に、自然な双対写像は存在しないが、両者の濃度はスパニングツリーの数に等しい。
• 強連結な有向グラフへの一般化されたドルゲームにおいて、K(G) の要素は、臨界配置の同値類と双対的に対応する。
• バンク頂点 $ を持つループのない強連結グラフ G の臨界群 K(G) は、総和がゼロである整数ベクトルのなす部分群 U と Q†Z^V の商群に同型である。