[論文レビュー] The CROCs, non-commutative deformations, and (co)associative bialgebras

Boris Shoikhet|ArXiv.org|Jun 9, 2003

Advanced Topics in Algebra参考文献 1被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、(co)assoziative bialgebraの非可換変形を支配するKontsevichの空間$K(m,n)$のコンパact化として、CROC（Compactified Riemannian Operad Complex）と呼ばれる新しい代数的構造を導入する。非可換変形を支配すると予想される結合的dg代数を構成し、Quillen双対性を用いて、標準的（可換）変形を支配すると予想されるdg Lie代数を導出する。これにより、この文脈において非可換変形がより根源的である可能性が示唆される。

ABSTRACT

We compactify the spaces $K(m,n)$ introduced by Maxim Kontsevich. The initial idea was to construct an $L_\infty$ algebra governing the deformations of a (co)associative bialgebra. However, this compactification leads not to a resolution of the PROP of (co)associative bialgebras, but to a new algebraic structure we call here a CROC. It turns out that these constructions are related to the non-commutative deformations of (co)associative bialgebras. We construct an associative dg algebra conjecturally governing the non-commutative deformations of a bialgebra. Then, using the Quillen duality, we construct a dg Lie algebra conjecturally governing the commutative (usual) deformations of a (co)associative bialgebra. Philosophically, the main point is that for the associative bialgebras the non-commutative deformations is maybe a more fundamental object than the usual commutative ones.

研究の動機と目的

• (co)assoziative bialgebraの変形を支配する$L_{\nu}$-代数を構成すること。当初は、このようなbiallygebraのPROPの分解能を期待していた。
• Kontsevichの空間$K(m,n)$を、予想されるPROPを超える新しい代数的構造を明らかにする方法でコンパクト化すること。
• コンパクト化された空間の境界ストラトゥムから生じる、新しい代数的構造CROCを定義すること。
• Quillen双対性を用いて、非可換変形を支配すると予想される結合的dg代数$\mho$を構成すること。
• 非可換構造から、標準的（可換）変形を支配すると予想されるdg Lie代数をQuillen双対性を用いて導出すること。

提案手法

• Kontsevichが導入した空間$K(m,n)$をコンパクト化し、多インデックス空間$K_{m_1,\dots,m_{\ell_1}}^{n_1,\dots,n_{\ell_2}}$を含む境界ストラトゥムが現れることを明らかにする。
• コンパクト化された空間によってパrameter化される作用からなる代数的構造としてCROCを定義し、PROP構造を一般化する。
• 仮想の非可換変形代数の双対を用いて、コチェイン複体の双対上のテンソル代数構成を用いて、結合的dg代数$\mho$を構成する。
• Quillen双対性を2度適用する：まずdg可換代数$A_0^\bullet = \Omega / [\Omega, \Omega]$を得る。次に、その双対としてdg Lie代数$\mathfrak{g}^\bullet$を構成し、これは可換変形を支配すると予想される。
• 連結的代数の場合の変形Lie代数のモデルとしてHochschild複体にGerstenhaber括弧を用い、写像$\mathfrak{g}^\bullet \to \mho$を介して比較する。
• 予想として$H^0(\mathfrak{g}^\bullet) \cong A_0^\bullet$が成り立つこと、すなわち0次コホモロジーがmoduli空間におけるbiallygebraの形式的近傍上の関数と同一視されることを提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kontsevichの$K(m,n)$空間のコンパクト化は、(co)assoziative bialgebraに対して予想されるPROPを超える新しい代数的構造を生じるか？
• RQ2 (co)assoziative bialgebraの非可換変形理論は、標準的可換変形理論よりも根源的であると見なせるか？
• RQ3 Quillen双対性を用いて構成された結合的dg代数$\mho$は、biallygebraの非可換変形を支配すると予想されるか？
• RQ4 $\mho$の可換子による商を取ったQuillen双対は、0次コホモロジーがbiallygebraの形式的moduli空間を記述するdg可換代数を生じるか？
• RQ5 その結果得られるdg Lie代数$\mathfrak{g}^\bullet$は、biallygebraの可換変形を支配すると予想されるか？

主な発見

• $K(m,n)$のコンパクト化は、PROPを一般化する新しい代数的構造であるCROCを生じる。これは、多インデックスコンパクト化空間の積から生じる。
• 本構成により、非可換変形を支配すると予想される結合的dg代数$\mho$が得られ、Quillen双対性を用いて導出される。
• $\mho$の可換子による商を取ったQuillen双対は、dg可換代数$A_0^\bullet$を生じる。その0次コホモロジーは、moduli空間におけるbiallygebraの形式的近傍上の関数と同型である。
• $A_0^\bullet$のQuillen双対は、可換変形を支配すると予想されるdg Lie代数$\mathfrak{g}^\bullet$である。
• 自由な可換なココモーダルbiallygebra$S(V)$の場合、代数$\mho$は形式的であると予想され、これに伴い得られる$\mathfrak{g}^\bullet$に対しても同様に形式的であると予想される。
• 連結的代数の場合には写像$\mathfrak{g}^\bullet \to \mho$が存在するが、biallygebraの場合には存在せず、これにより二重のQuillen双対性構成が不可避となる。