[論文レビュー] The Crossing Tverberg Theorem

Radoslav Fulek, Bernd Gärtner+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2018

Computational Geometry and Mesh Generation被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Tverbergの古典的定理を強化する『クロッシングTverberg定理』を導入する。この定理は、d次元空間内の点集合をr個の部分集合に分割し、それらの凸包が共通の点で交わるとともに、互いに境界同士が非空で交わることを保証する。主な結果として、一般位置にあるℝᵈ内に(d+1)r個の点が与えられたとき、常に頂点が互いに素で、共通の点を共有するr個の交差する単体（2次元では三角形）が存在し、平面では最適な⌊n/3⌋個のこのような三角形が達成可能であることが示される。

ABSTRACT

The Tverberg theorem is one of the cornerstones of discrete geometry. It states that, given a set X of at least (d+1)(r-1)+1 points in R^d, one can find a partition X=X_1 cup ... cup X_r of X, such that the convex hulls of the X_i, i=1,...,r, all share a common point. In this paper, we prove a strengthening of this theorem that guarantees a partition which, in addition to the above, has the property that the boundaries of full-dimensional convex hulls have pairwise nonempty intersections. Possible generalizations and algorithmic aspects are also discussed. As a concrete application, we show that any n points in the plane in general position span floor[n/3] vertex-disjoint triangles that are pairwise crossing, meaning that their boundaries have pairwise nonempty intersections; this number is clearly best possible. A previous result of Alvarez-Rebollar et al. guarantees floor[n/6] pairwise crossing triangles. Our result generalizes to a result about simplices in R^d,d >=2.

研究の動機と目的

• Tverbergの定理を強化し、Tverberg分割における凸包が共通の点で交わるだけでなく、境界同士が非空で交わることを保証すること。
• 一般位置の平面上の点集合において、既知の下界⌊n/6⌋個の互いに交差する三角形と理論的上限⌊n/3⌋個の間のギャップを埋めること。
• 結果をd次元単体に一般化し、ℝᵈ内での頂点が互いに素で、互いに交差する単体の最適な境界を確立すること。
• このような分割を効率的に見つけるためのアルゴリズム的側面および計算複雑性を調査すること。
• 高次元において、より強い位相的条件（例：面のリンク）を交差に強制できるかを検討すること。

提案手法

• Tverberg分割における部分集合の凸包が共通の点で交わるだけでなく、境界同士が交わることを保証するTverbergの定理の強化版を証明すること。
• Tverberg分割に基づく構成的アプローチを採用し、Carathéodoryの定理を用いて、共通の交点を保ちながら集合サイズをd+1に縮小すること。
• 『Fixing Pairs』手順を導入・分析し、単体体積の辞書式順序を活用して、反復的にTverberg分割を変更することで境界の交差を確保すること。
• 体積に基づく議論と位相的推論を用い、体積の辞書式順序における進行が、交差する分割への収束を示すこと。
• SATソルバーやランダムな実現を用いて3次元における反例を構成し、より強いリンク条件（例：面のリンク）を保証できないことを示すこと。
• 結果を高次元に一般化し、完全グラフの擬似線形および単純な図形への応用について議論すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Tverberg分割において、共通の点に加えて、すべての凸包の境界が互いに交わるように構成可能か？
• RQ2 一般位置の平面上のn点の集合において、⌊n/3⌋個の頂点が互いに素で、互いに交差する三角形を達成可能か？
• RQ3 このようなクロッシングTverberg分割を効率的に見つけるためのアルゴリズム的および計算複雑性の限界は何か？
• RQ4 高次元Tverberg分割において、より強い位相的条件（例：面のリンク）を保証できるか？
• RQ5 結果は、特にペアワイズに交差する辺や三角形を含む完全グラフの図形へどのように拡張可能か？

主な発見

• 一般位置のℝᵈ内に(d+1)r個の点が与えられたとき、それらをr個のd+1点の部分集合に分割可能であり、その凸包は共通の点を共有し、互いに非空な境界交わりを持つ。
• 平面では、一般位置のn点の集合に対して常に⌊n/3⌋個の頂点が互いに素で、互いに交差する三角形が存在し、これは最適であり、以前の下界⌊n/6⌋を改善する。
• 結果はd次元単体へ一般化可能である：一般位置のℝᵈ内にn点が与えられたとき、⌊n/(d+1)⌋個の頂点が互いに素で、互いに交差するd単体が存在する。
• 本稿では、3次元における2次元面のリンクといったより強い条件を保証できないことが示され、8点と原点を含む2つの互いに素な四面体を含む反例によって裏付けられている。
• このようなクロッシングTverberg分割を求める計算複雑性は未解決のままであるが、問題はPPAD ∩ PLSに属し、多項式時間アルゴリズムは知られていない。
• 本稿は、完全グラフの擬似線形および単純な図形への結果の拡張の理論的基盤を提供するが、完全な一般化は未解決のままである。