[論文レビュー] The Curse of Medium Dimension for Geometric Problems in Almost Every Norm.

Roee David, C. S. Karthik+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2016

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 62被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、中程度の次元 $d = \Theta(\log N)$ における基本的な幾何学的問題—最近接ペア、直径、ユークリッド最小全域木—について、$\ell_p$-ノルム下での部分二次時間の下界を確立する。強力な指数時間仮説（SETH）に基づくSATへの還元を用いて、これらの問題に対して $O(N^{2-\varepsilon}2^{o(d)})$ 時間のアルゴリズムは存在しないことを証明し、ほぼすべての $\ell_p$-ノルムにおいて『中程度次元の呪い』を確立する。

ABSTRACT

Given a point-set, finding the Closest Pair of points in the set, determining its Diameter, and computing a Euclidean Minimum Spanning Tree are amongst the most fundamental problems in Computer Science and Computational Geometry. In this paper, we study the complexity of these three problems in medium dimension, i.e., dimension $d=\Theta(\log N)$, and for various $\ell_p$-norms. We show a reduction from SAT to these geometric problems in medium dimension, thus showing that these problems have no subquadratic-time algorithm, i.e., no $O(N^{2-\varepsilon}2^{o(d)})$-time algorithm for any $\varepsilon>0$, under the Strong Exponential-Time Hypothesis (SETH). In particular, under SETH we prove the following results: $\bullet$ For every $p\geq 0$, there is no subquadratic-time algorithm for the Diameter problem, in the $\ell_p$-norm and dimension $d=\Theta(\log N)$. $\bullet$ There is no subquadratic-time algorithm for the Euclidean Minimum Spanning Tree problem in dimension $d=\Theta(\log N)$. $\bullet$ For every $p\in \mathbb{R}_{>2}\cup \{\infty\}$, there is no subquadratic-time algorithm for the Closest Pair problem in the $\ell_p$-norm and dimension $d=\Theta(\log N)$. Additionally, we prove a subquadratic lower bound for a generalization of the Closest Pair problem, namely the Set Closest Pair problem for all norms $\ell_p$, $p\in\mathbb{R}_{\geq 1}\cup\{\infty\}$. Many of our proofs go through a reduction from the Bichromatic Closest Pair problem; we prove that for every $p\in\mathbb{R}^+\cup \{\infty\}$, there is no subquadratic-time algorithm for the Bichromatic Closest Pair problem in the $\ell_p$-norm and dimension $d=\Theta(\log N)$, extending a result by Alman and Williams [FOCS 2015]. To show certain limitations of our techniques, we also prove a Point-Set Separation lemma for the $\ell_2$-norm, which might be of independent interest.

研究の動機と目的

• 次元 $d = \Theta(\log N)$ の中程度次元空間における基本的幾何学的問題の計算複雑性を調査すること。
• 次元 $d = \Theta(\log N)$ の中程度次元において、最近接ペア、直径、ユークリッド最小全域木問題に部分二次時間アルゴリズムが存在するかを特定すること。
• 既存のバイコロナル最近接ペア問題の難易度結果を、すべての $\ell_p$-ノルムにわたる標準的最近接ペアおよび関連問題へと拡張すること。
• さまざまなノルム下で中程度次元における幾何学的問題に適用可能な一般化された下界枠組みを確立すること。
• $\ell_2$-ノルムのためのポイント集合分離補題を証明することで、現在の技術の限界を特定し、主結果を越えて有用である可能性がある。

提案手法

• 中程度次元における幾何学的問題へのブール充足問題（SAT）の還元を用いて、条件付き下界を確立する。
• 部分二次時間アルゴリズムの存在を排除するために、強力な指数時間仮説（SETH）を複雑性仮定として採用する。
• バイコロナル最近接ペア問題からの還元を用いて、標準的最近接ペアおよびセット最近接ペア問題の難易度を証明する。
• すべての $\ell_p$-ノルム、特に $p \in \mathbb{R}_{>2} \cup \{\infty\}$ および $p=2$ を含む処理のためのノルム固有の幾何学的解析を適用する。
• $\ell_2$-ノルムのためのポイント集合分離補題を導入し、還元手法の構造的限界を分析する。
• 最近接ペア問題からの還元を用いて、ユークリッド最小全域木問題への難易度結果を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $d = \Theta(\log N)$ の $\ell_p$-ノルム下で、直径問題に部分二次時間アルゴリズムが存在するか？
• RQ2 $p \in \mathbb{R}_{>2} \cup \{\infty\}$ の場合に、中程度次元 $d = \Theta(\log N)$ で、最近接ペア問題が $O(N^{2-\varepsilon}2^{o(d)})$ 時間で解けるか？
• RQ3 すべての $\ell_p$-ノルム $p \in \mathbb{R}_{\geq 1} \cup \{\infty\}$ において、セット最近接ペア問題が中程度次元で部分二次時間アルゴリズムを有するか？
• RQ4 バイコロナル最近接ペア問題は、中程度次元における標準的幾何学的問題の難易度の基準点として使用可能か？
• RQ5 特に $\ell_2$-ノルムにおいて、中程度次元幾何学における現在の還元手法の限界は何か？

主な発見

• SETHのもとでは、次元 $d = \Theta(\log N)$ において、任意の $p \geq 0$ に対して、$\ell_p$-ノルム下で直径問題に $O(N^{2-\varepsilon}2^{o(d)})$ 時間のアルゴリズムは存在しない。
• SETHのもとでは、次元 $d = \Theta\left(\log N\right)$ において、ユークリッド最小全域木問題に部分二次時間アルゴリズムは存在しない。
• $p \in \mathbb{R}_{>2} \cup \{\infty\}$ すべての $p$ に対して、中程度次元 $d = \Theta(\log N)$ において、最近接ペア問題に $O(N^{2-\varepsilon}2^{o(d)})$ 時間のアルゴリズムは存在しない。
• すべての $\ell_p$-ノルム $p \in \mathbb{R}_{\geq 1} \cup \{\infty\}$ において、中程度次元でセット最近接ペア問題に部分二次時間アルゴリズムは存在しない（SETHのもと）。
• すべての $p \in \mathbb{R}^+ \cup \{\infty\}$ に対して、バイコロナル最近接ペア問題は中程度次元で難易度が高く、AlmanとWilliamsによる先行結果を拡張する。
• $\ell_2$-ノルムのためのポイント集合分離補題が証明され、これは独立に価値のあるものであり、還元フレームワークの本質的限界を明らかにする。