[論文レビュー] The Cyclotomic Birman-Murakami-Wenzl Algebras

Shona Yu|ArXiv.org|Oct 1, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 42被引用数 41

ひとこと要約

本稿は、cyclotomic Birman-Murakami-Wenzl代数 $\mathscr{B}_{n}^{k}$ の自由性とセルラリティを確立し、適切な基底環上でのランク $k^n(2n-1)!!$ の自由性と、Ariki-Koike セラーベースの上昇によるセルラ構造の存在を証明する。主な貢献は、ねじれを回避するためのパラメータの適正化条件の明示的定式化であり、非退化なマーコフトレースを保証し、シリンダーテンガルを用いた図式的および代数的基底の構成を可能にする。

ABSTRACT

----- Please see the pdf file for the actual abstract and important remarks, which could not be put here due to the arXiv length restrictions. ----- This thesis presents a study of the cyclotomic BMW (Birman-Murakami-Wenzl) algebras, introduced by Haring-Oldenburg as a generalization of the BMW algebras associated with the cyclotomic Hecke algebras of type G(k,1,n) (also known as Ariki-Koike algebras) and type B knot theory involving affine/cylindrical tangles. They are shown to be free of rank k^n (2n-1)!! and to have a topological realization as a certain cylindrical analogue of the Kauffman Tangle algebra. Furthermore, the cyclotomic BMW algebras are proven to be cellular, in the sense of Graham and Lehrer. This Ph.D. thesis, completed at the University of Sydney, was submitted September 2007 and passed December 2007.

研究の動機と目的

• cyclotomic BMW代数 $\mathscr{B}_{n}^{k}$ が適正なパラメータをもつ一般の基底環上で自由であることを確立すること。
• シリンダーテンガルを用いて、代数的および図式的に $\mathscr{B}_{n}^{k}$ の明示的基底を構成すること。
• Graham と Lehrer の意味でのセルラリティを証明し、Ariki-Koike代数からの上昇を用いること。
• ねじれを回避し、マーコフトレースの非退化性を保証するための、基底環のパラメータに対する正確な適正化条件を同定すること。
• Kauffman テンガル代数のシリンダーモデルとして $\mathscr{B}_{n}^{k}$ の位相的実現を与えること。

提案手法

• Wilcox との共同プレプリントを用いて、生成子における $k$ 次多項式関係に起因するねじれの不在を保証する、適正なパラメータをもつ一般の基底環を構成する。
• cyclotomic Brauer代数を介して構成された非退化なマーコフトレースを用い、提案された基底の線形独立性を証明する。
• 適合する反置換およびフィルトレーション技法を用いて、Ariki-Koike代数 $\mathfrak{h}_{n,k}$ のセルラーベースを $\mathscr{B}_{n}^{k}$ に上昇させる。
• セルラ代数の一般理論を適用し、3つの公理（C1–C3）を検証する。特に、帰納法とイデアルフィルトレーションを用いて乗法公理（C3）を検証する。
• シリンダーテンガルとしての $\mathscr{B}_{n}^{k}$ の位相的実現を用い、基底元をシリンダーテンガル図式として解釈する。
• 反置換がセルラーベース構造を保存することを検証し、双対性および置換公理を満たすことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基底環のパラメータにどのような必要十分条件が課されると、$\mathscr{B}_{n}^{k}$ が有限ランクの自由となるか？
• RQ2 Ariki-Koike代数からの上昇によって、$\mathscr{B}_{n}^{k}$ にセルラ構造を構成できるか？
• RQ3 非退化なマーコフトレースを $\mathscr{B}_{n}^{k}$ にどのように定義できるか。また、自由性の証明におけるその役割は何か？
• RQ4 $\mathscr{B}_{n}^{k}$ が図式代数としてどのように位相的に解釈できるか。Kauffman テンガル代数とはどのような関係にあるか？
• RQ5 パラメータの適正化条件は、特に $\mathscr{B}_{2}^{k}$ において、$\mathscr{B}_{n}^{k}$ の表現論にどのように影響を与えるか？

主な発見

• $\mathscr{B}_{n}^{k}$ は第3章で導出された適正化条件を満たす基底環上でランク $k^n(2n-1)!!$ の自由となる。
• パラメータが適正であるとき、$\mathscr{B}_{n}^{k}$ には非退化なマーコフトレースが存在し、自由性証明における線形独立性の議論を可能にする。
• $\mathscr{B}_{n}^{k}$ はセルラリティを有し、Ariki-Koike代数 $\mathfrak{h}_{n,k}$ のセルラーベースを適合する反置換を用いて上昇することで構成されたセルラーベースを持つ。
• $\mathscr{B}_{n}^{k}$ は、基底元がシリンダーテンガル図式に対応する、cyclotomic Kauffman テンガル代数としての位相的実現を有する。
• 適正化条件は、生成子における $k$ 乗多項式関係に起因するねじれを回避するために不可欠であり、$\mathscr{B}_{2}^{k}$ の表現論を用いて正確に同定される。
• $k=1$ のとき、結果は既知の古典的BMW代数の定理に特殊化され、Morton-Wasserman、Enyang、Xi の結果が回復される。