[論文レビュー] The d-separation criterion in Categorical Probability

T. A. Fritz, Andreas Klingler|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2022

Bayesian Modeling and Causal Inference被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、マーカフ圏を用いた因果モデルのカテゴリカルな枠組みを導入し、ストリング図における位相的連結性に基づく、新たなd-分離の概念を定義する。この論文は、マーカフ圏における条件付き確率の性質を活用することで、確率的、決定論的、可能性論的ネットワークを含む多様な設定において、因果的適合性と条件付き独立性の同値性を示す抽象的なd-分離基準を証明する。

ABSTRACT

The d-separation criterion detects the compatibility of a joint probability distribution with a directed acyclic graph through certain conditional independences. In this work, we study this problem in the context of categorical probability theory by introducing a categorical definition of causal models, a categorical notion of d-separation, and proving an abstract version of the d-separation criterion. This approach has two main benefits. First, categorical d-separation is a very intuitive criterion based on topological connectedness. Second, our results apply both to measure-theoretic probability (with standard Borel spaces) and beyond probability theory, including to deterministic and possibilistic networks. It therefore provides a clean proof of the equivalence of local and global Markov properties with causal compatibility for continuous and mixed random variables as well as deterministic and possibilistic variables.

研究の動機と目的

• 古典的なd-分離基準を標準的な確率空間を超えて、決定論的および可能性論的システムへ一般化すること。
• 自由マーカフ圏とストリング図を用いて、因果モデルをカテゴリカルな枠組みで形式化すること。
• ワイヤーの除去による位相的非連結性に基づく、カテゴリカルなd-分離基準を定義すること。
• 任意の条件付き確率を持つマーカフ圏において、d-分離が成立する限り、因果的適合性と条件付き独立性が同値であることを証明すること。
• 離散的、連続的、ガウス的変数を統一した抽象的枠組みで一括して取り扱えるようにすること。

提案手法

• 基本的な射（ボックス）とワイヤー（変数）からなる自由マーカフ圏を用いて、ストリング図を構成することで因果モデルを構築する。
• カテゴリカルなd-分離を、特定の変数に対応するワイヤーを除去した際の図の非連結性として定義する。
• マーカフ圏における条件付き確率の構造的仮定を用いて、出力の逐次的生成を可能にし、条件付き確率の因数分解を一般化する。
• 局所的マーカフ性を適用して、d-分離条件から条件付き独立性の式を導出する。
• 射が因果的構造と適合するための必要十分条件として、d-分離が示す条件付き独立性関係を満たすことであることを証明する。
• FinSetにおける道具的変数、フィードバックループ、決定論的写像などの具体例を用いて、フレームワークの有効性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d-分離は、DAG や標準的な確率空間を超えて、決定論的および可能性論的システムへ一般化可能か？
• RQ2 確率的状況において古典的なd-分離に還元されるカテゴリカルなd-分離の定義は存在するか？
• RQ3 測度論的確率空間を超えたマーカフ圏においても、d-分離と因果的適合性の同値性は成立するか？
• RQ4 同じカテゴリカル枠組みで、離散的・連続的・ガウス的変数を一様に取り扱えるか？
• RQ5 条件付き確率の性質が、抽象的マーカフ圏におけるd-分離基準の証明を可能にする役割は何か？

主な発見

• 本稿は、任意の条件付き確率を持つマーカフ圏において、因果的適合性と同値であるカテゴリカルなd-分離基準を確立した。
• カテゴリカルなd-分離は、完全に位相的連結性に基づいて定義される：特定の変数の集合がd-分離されるとは、それに対応するワイヤーを除去した際に図が非連結になることである。
• 本フレームワークは、離散的・連続的・ガウス的変数を統一した基準で取り扱い、すべてのケースにおいて局所的マーカフ性とグローバルマーカフ性が同値であることを証明した。
• 道具的変数の状況では、基準は既知の条件を再現する：X ⊥B∣A,Λ および X ⊥Λ であり、これらは同時密度の因数分解に対応する。
• FinSetのような決定論的設定では、局所的マーカフ性から、z = g(c), x = h(a,z), y = k(b,z) を満たす関数g, h, kの存在により因果的適合性が導かれる。
• 本フレームワークでは、同じ因果的メカニズム（ボックス）を図内で複数回使用可能であり、標準的なDAGではその再利用が本質的でないのとは対照的である。