[論文レビュー] The De Bruijn-Newman constant is non-negative

Brad Rodgers, Terence Tao|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2018

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ひとこと要約

この論文は、逆熱方程式における関数 Hₜ(z) の零点の動的解析を用いて、ニューマンの予想を証明する。De Bruijn-Newman定数 Λ が非負であることを示している。Λ < 0 を仮定すると、H₀ の零点が局所的平衡状態にあることになり、リーマンゼータ関数の零点の既知のペア相関統計と矛盾する。

ABSTRACT

For each $t \in {\bf R}$, define the entire function $$ H_t(x) := \int_0^\infty e^{tu^2} Φ(u) \cos(xu)\ du$$ where $Φ$ is the super-exponentially decaying function $$ Φ(u) := \sum_{n=1}^\infty (2π^2 n^4 e^{9u} - 3πn^2 e^{5u} ) \exp(-πn^2 e^{4u} ).$$ Newman showed that there exists a finite constant $Λ$ (the \emph{de Bruijn-Newman constant}) such that the zeroes of $H_t$ are all real precisely when $t \geq Λ$. The Riemann hypothesis is the equivalent to the assertion $Λ\leq 0$, and Newman conjectured the complementary bound $Λ\geq 0$. In this paper we establish Newman's conjecture. The argument proceeds by assuming for contradiction that $Λ&lt; 0$, and then analyzing the dynamics of zeroes of $H_t$ (building on the work of Csordas, Smith, and Varga) to obtain increasingly strong control on the zeroes of $H_t$ in the range $Λ&lt; t \leq 0$, until one establishes that the zeroes of $H_0$ are in local equilibrium, in the sense that locally behave (on average) as if they were equally spaced in an arithmetic progression, with gaps staying close to the global average gap size. But this latter claim is inconsistent with the known results about the local distribution of zeroes of the Riemann zeta function, such as the pair correlation estimates of Montgomery.

研究の動機と目的

• De Bruijn-Newman定数 Λ ≥ 0 であるというニューマンの予想を解決すること。
• リーマン予想が真である場合、Λ が負であってはならないこと、つまり「わずかにしか成り立たない」ことを証明すること。
• Λ < 0 を仮定すると、リーマンゼータ関数の非自明な零点の統計的性質と矛盾することを示すこと。
• Λ < 0 の仮定の下で、零点間の反発現象を局所的平衡条件へと強化すること。
• モンゴメリーのペア相関定理が予測するリーマンゼータ関数の零点の局所的分布が、Λ < 0 が示唆する平衡状態と両立しないことを示すこと。

提案手法

• 逆熱方程式 ∂ₜHₜ = −∂_{zz}Hₜ における Hₜ(z) の零点の進化を分析する。
• ツォルダス、スミス、ヴァルガによる反発メカニズムを適用し、Λ が負であると零点が密な配置を避けなければならないことを示す。
• Λ < 0 の下で、H₀ の零点は局所的平衡状態にあり、平均的には等間隔に並んでいると示す。
• 区間 K 上での零点の間隔の規則性を測るエネルギー関数 E^K(t) を導入し、時間経過に伴うその変化を追跡する。
• Gaussian Unitary Ensemble (GUE) 仮説を用いてゼータ関数の零点の統計的分布をモデル化し、平衡状態仮定からの矛盾を導出する。
• モンゴメリーのペア相関定理を適用し、正の割合の零点が平均より小さい間隔を持つことを示し、これにより平衡条件が破られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ニューマンが予想したように、De Bruijn-Newman定数 Λ は Λ ≥ 0 を満たすか？
• RQ2 Λ < 0 のとき、t → Λ + 0 の極限において Hₜ(z) の零点の分布はどのように変化するか？
• RQ3 H₀ の零点が局所的平衡状態にあることは、リーマンゼータ関数の非自明な零点の既知の統計的ペア相関データと両立可能か？
• RQ4 Λ < 0 のとき、零点間の反発が局所的クラスタリングを防ぎ、その結果として矛盾を引き起こすか？
• RQ5 Λ < 0 の仮定が、リーマンゼータ関数の連続する零点間隔が平均間隔に漸近的に近づくことを示すが、これは既知の結果と矛盾するか？

主な発見

• De Bruijn-Newman定数は Λ ≥ 0 を満たし、ニューマンの予想が正当化された。
• Λ < 0 を仮定すると、H₀ の零点は局所的平衡状態にあり、平均的には等間隔に分布していると結論づけられる。
• 局所的平衡状態は、連続する非自明なリーマンゼータ関数の零点間隔が、漸近的に平均間隔 4π/log T に等しくなることを意味する。
• これはモンゴメリーのペア相関定理と矛盾する。モンゴメリーの定理は、正の割合の連続する零点が平均より小さい間隔を持つことを示している。
• 矛盾は、平衡状態仮定が間隔を平均に非常に集中させることを要求するのに対し、ペア相関理論は頻繁に小さな間隔が存在することを予測するため生じる。
• したがって、Λ < 0 の仮定は妥当ではなく、Λ は ≥ 0 でなければならない。