[論文レビュー] The de Rham realization of the elliptic polylogarithm in families

René Achim Scheider|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、アーベル・スキーム上の対数層およびDモジュールを用いて、家族ごとの楕円ポリログのde Rham実現を構成し、Eisenstein級数およびSiegel単数を用いてDバージョンのポリログの明示的な解析的特徴付けを証明する。主な結果として、捩れセクションに沿った特異化によりde Rham Eisenstein類をモジュラー形式と特定し、これらの類がモジュラー形式およびKodaira-Spencer写像を用いてモチーフ的かつコhomologicalに解釈されることを示す。

ABSTRACT

This thesis establishes a geometric approach to the de Rham realization of the polylogarithm. As a central result we construct the logarithm sheaves of rational abelian schemes in terms of the birigidified Poincaré bundle with universal integrable connection on the product of the abelian scheme and the universal vectorial extension of its dual. This is achieved essentially by restricting the mentioned data of the Poincaré bundle along the infinitesimal neighborhoods of the zero section of the universal extension. We also clarify how these constructions naturally express within the language of the Fourier-Mukai transformation for $\mathcal D$-modules on abelian schemes. Our geometric perspective moreover permits an interpretation of fundamental formal properties of the logarithm sheaves within the standard theory of the Poincaré bundle. For a relative elliptic curve we additionally present a related viewpoint on the first logarithm extension via $1$-motives. Having developed in detail the outlined geometric understanding of the logarithm sheaves, we then exploit it systematically for an investigation of the polylogarithm for the universal family of elliptic curves with level $N$ structure. A main theorem of the work gives an explicit analytic description for a variant of the small elliptic polylogarithm via the coefficient functions appearing in the Laurent expansion of a meromorphic Jacobi form defined by Kronecker in the 19th century. Furthermore, using the previous result, we determine the specialization of the modified polylogarithm along torsion sections concretely in terms of certain algebraic Eisenstein series. From this we regain in particular the known expressions of the de Rham Eisenstein classes by algebraic modular forms.

研究の動機と目的

• アーベル・スキーム上、特にユニバーサル楕円曲線を含む家族ごとの楕円ポリログのde Rham実現を構成すること。
• 対数層および単調Dモジュールを用いて、ポリログのDバージョンのモチーフ的およびコhomologicalな解釈を確立すること。
• Dバージョンの特異化を、Eisenstein級数およびSiegel単数を用いて明示的に記述すること。
• Kodaira-Spencer同型およびPoincaré双対性を用いて、得られたコhomology類をモジュラー形式に関連付けること。
• Fourier-Mukai変換およびメロモーフィックJacobi形式を用いて、ポリログおよびそのDバージョンの完全な解析的特徴付けを提供すること。

提案手法

• アーベル・スキーム上のde Rhamコホロロジー層の普遍的単調拡大として対数層を構成する。
• ユニバーサルベクトル的拡大上でFourier-Mukai変換を適用し、対数層とPoincaré bundleを関連付ける。
• Dモジュールおよび可積分接続の理論を用いて、ポリログのDバージョンを定義・分析する。
• メロモーフィックJacobi形式およびEisenstein級数を用いて、対数層の解析的構造を記述する。
• 解析化関手を適用し、代数的de Rhamコホロロジーとユニバーサル楕円曲線上の解析的対象を関連付ける。
• 収縮写像およびPoincaré双対性を用いて、ポリログからde Rham Eisenstein類を定義・計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、アーベル・スキームの家族のde Rhamコホロロジーにおいて楕円ポリログを実現できるか？
• RQ2 ユニバーサル楕円曲線上でのDバージョンのポリログの明示的解析的記述は何か？
• RQ3 Dバージョンの特異化が捩れセクションに沿ってどのようにモジュラー形式およびEisenstein級数に関係するか？
• RQ4 1-モチーフおよびde Rham-Manin写像を用いて、最初の対数層拡大類のモチーフ的解釈は何か？
• RQ5 de Rham Eisenstein類はどのように明示的に計算され、Siegel単数およびモジュラー形式と関連づけられるか？

主な発見

• Dバージョンのポリログは、捩れセクションに沿って特異化され、Eisenstein級数およびモジュラー形式によって明示的に記述されるコホモロジー類になる。
• D ≡ 1 mod N に対して、n次のde Rham Eisenstein類 Eisn(ta,b) は、H^1_dR(S/Q, Sym^n H^1) 内で Eisn(ta,b) = −N^{n−1} (−1)^n / n! · F^{(n+2)}(a/N, b/N) と与えられる。ここで F^{(n+2)} はEisenstein級数に対応するモジュラー形式である。
• 次数0の特異化 Eis0(ta,b) は、H^1_dR(S/Q) 内で −N^{−1} dlog(g(a/N, b/N)) に等しい。ここで g(a/N, b/N) はSiegel単数である。
• 次数nにおけるDバージョンのポリログは、次の式によりde Rham Eisenstein類と関連づけられる： t^*_{a,b}(pol^n_D) = −N^{1−n} (D^2 Eis^n(ta,b) − D^{−n} Eis^n(t_{Da,Db}))。
• 解析的特徴付けは、解析化および基本的なメロモーフィックJacobi形式を含む可換図式を用いて確立される。
• モチーフ的de Rham-Manin写像は、最初の対数層拡大類を、式 (3.8.38) による写像の下でのモジュラー形式 F^{(2)}(a/N, b/N) の像に特定し、Kodaira-Spencer類と関連付ける。