[論文レビュー] The Decision Tree Complexity for $k$-SUM is at most Nearly Quadratic

Esther Ezra, Micha Sharir|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$k$-SUM問題に対する新しいアルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、$\varepsilon$-カットリングを用いた再帰的垂直分割アプローチを採用し、線形意思決定木の複雑さを$O(n^2 \log^2 n)$の線形クエリにまで低減する。この手法は、CardinalらとMeyer auf der Heideによる先行研究の境界を改善し、ほぼ二次関数的複雑さを達成するとともに、任意の実数係数をもつより一般化された$k$-線形退化テスト（k-LDT）問題へも拡張可能である。

ABSTRACT

Following a recent improvement of Cardinal et al. on the complexity of a linear decision tree for $k$-SUM, resulting in $O(n^3 \log^3{n})$ linear queries, we present a further improvement to $O(n^2 \log^2{n})$ such queries.

研究の動機と目的

• 線形意思決定木モデルにおける$k$-SUM問題の、現在知られている最良の上界と下界の間のギャップを埋めること。
• 特に$k$-SUMおよび$k$-LDTに対して、高次元の超平面アレンジメントにおけるより効率的な点位置特定メカニズムの開発。
• Cardinalらの$O(n^3 \log^3 n)$の境界およびMeyer auf der Heideの$O(n^4 \log n)$の境界を改善すること。
• 特に$s = n$などの大きな$s$の場合に、$s$-線形意思決定木モデル下での$k$-SUMおよび$k$-LDTのクエリ複雑度を分析すること。
• 現在の下界が$\Omega(n \log n)$であることを踏まえ、意思決定木モデルでほぼ線形のクエリ複雑度を達成することが可能かどうかを検討すること。

提案手法

• アルゴリズムは、$k$-SUM制約によって定義される超平面アレンジメントの再帰的垂直分割を用いる。各再帰レベルで、ピラミッド（ピラミッド型の多面体）を維持する。
• 各再帰ステップで、$\varepsilon$-カットリングを適用して空間を分割し、有効な超平面の数を定数倍だけ削減する。
• この手法は、現在のピラミッドの垂直壁を低次元空間に投影することで、各ステップで次元を1つずつ削減する。
• 意思決定木の各ノードで線形関数の符号をテストするための線形クエリを実行し、各レベルあたりのクエリ数は$O(n^2 \log n)$で抑えられる。
• 構成法により、$O(\log |H|)$の再帰レベルの各段階で超平面の数が定数倍ずつ削減され、結果として総クエリ数は$O(n^2 \log^2 n)$に抑えられる。
• 座標回転により、超平面が軸に平行でなくなるように保証することで、$k$-LDTへの応用が可能となり、任意の実数係数への一般化が維持される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 以前の$O(n^3 \log^3 n)$の境界を下回る$k$-SUMの意思決定木の複雑さを達成できるか？
• RQ2 線形意思決定木モデルにおいて、$k$-SUMでほぼ二次関数的クエリ複雑度を達成できるか？
• RQ3 再帰的垂直分割に$\varepsilon$-カットリングを組み合わせた手法と、Meiserの点位置特定メカニズムとの間で、クエリ時間と空間複雑度の点でどのように比較されるか？
• RQ4 任意の実数係数をもつ$k$-LDTへも、ほぼ二次関数的クエリ複雑度を維持したまま一般化可能か？
• RQ5 下界が$\Omega(n \log n)$であることを踏まえると、$k$-SUMの意思決定木の複雑さのタイトな上界は何か？

主な発見

• $k$-SUMの意思決定木の複雑さは、$O(n^2 \log^2 n)$の線形クエリで抑えられ、以前の$O(n^3 \log^3 n)$の境界に比べて顕著な改善である。
• この境界は、再帰的垂直分割と$\varepsilon$-カットリングを用いることで達成され、$O(\log n)$レベルの各段階で有効な超平面の数が定数倍ずつ削減される。
• 任意の実数係数をもつ$k$-LDTに対してもこの手法は拡張可能であり、クエリ複雑度は$O(kn^2 \log^2 n)$となる。$k$が固定の場合は$n$に関してほぼ二次関数的である。
• 得られるデータ構造のクエリ時間は$O(d^4 \log n)$であり、Meiserの$O(d^5 \log n)$に比べて1桁改善されている。
• 空間複雑度は$O(n^d)$のまま維持され、定数はMeiserのものに比べてわずかに大きいが、さらなる最適化の余地があると考えられる。
• 解析により、空間複雑度の比例定数を二重指数的から単一指数的へ改善できる可能性があるが、これはまだ未解決の精緻化の課題のままである。