[論文レビュー] The decycling numbers of graphs

Sheng Bau, Lowell W. Beineke|ArXiv.org|Mar 19, 2007

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、グラフを無閉路にするために削除する必要のある頂点集合の最小サイズであるデサイクル数について、包括的なレビューを提供している。具体的には、ハイパーキューブ、グリッド、スネークなどの特定のグラフに対する境界値と正確な値、構造的特徴付けが提示されている。主な貢献は、問題のNP完全性、n-立方体におけるタイトな境界、グラフの連結性および符号理論との関連性である。

ABSTRACT

For a graph $G$ and $S\subset V(G)$, if $G - S$ is acyclic, then $S$ is said to be a decycling set of $G$. The size of a smallest decycling set of $G$ is called the decycling number of $G$. The purpose of this paper is a comprehensive review of recent results and several open problems on this graph parameter. Results to be reviewed include recent work on decycling numbers of cubes, grids and snakes. A structural description of graphs with a fixed decycling number based on connectivity is also presented. Graphs with small decycling numbers are characterized.

研究の動機と目的

• グラフのデサイクル数に関する最近の結果と未解決問題を体系的にレビューすること。
• ハイパーキューブ、グリッド、スネークなどの特定のグラフ族におけるデサイクル数の正確かつタイトな境界を特定すること。
• 連結性および構造的性質を用いて、固定されたデサイクル数を持つグラフを特徴付けること。
• 特に問題のNP完全性に起因するアルゴリズム的・計算的課題を調査すること。
• デサイクル数と独立数や被覆数などの他のグラフパラメータとの関係を確立すること。

提案手法

• G−S が無閉路であるような頂点集合 S をデサイクリング集合と定義し、∇(G) をそのような集合の最小サイズとする。
• q本の辺、p個の頂点、最大次数Δをもつ連結グラフに対して、∇(G) ≥ (q−p+1)/(Δ−1) の公式を適用する。
• θ(S) = σ(S) − |S| − ε(S) − ω(G−S) + 1 という出力関数を用いてデサイクリング集合を特徴付け、任意のデサイクリング集合に対して θ(S) = q−p+1 が成り立つことを示す。
• グラフの積 G×H や頂点の同一化 H∘fJ などのグラフ操作を用いて、デサイクル数が既知のグラフを構成する。
• 構造的分解を用い、∇(G)=k であるグラフは、(k+1)-連結な方法で木にk集合を接続することで得られることを示す。
• 連結性および木成分に基づき、∇(G)=2 や 3 などの小さなデサイクル数を持つグラフに対して、再帰的および帰納的構成を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n ≥ 9 のn次元ハイパーキューブ Qn の正確なデサイクル数は何か？
• RQ2 2n 頂点をもつ立方体グラフ G で、∇(G) = ⌈(n+1)/2⌉ を満たすものはどれか？
• RQ3 同じ境界を満たす立方体平面グラフはどれか？
• RQ4 最大外部平面グラフまたは2次元ツリーのデサイクル数を計算する高速なアルゴリズムは存在するか？
• RQ5 特に ∇(G)=k の場合に、デサイクル数とグラフの連結性の関係は何か？

主な発見

• n ≤ 8 の場合、n-立方体のデサイクル数は正確に分かっている：∇(Q1)=0, ∇(Q2)=1, ∇(Q3)=3, ∇(Q4)=6, ∇(Q5)=14, ∇(Q6)=28, ∇(Q7)=56, ∇(Q8)=112。
• Q9 から Q13 については、改良された境界が提供されている：∇(Q9) ∈ [224, 312], ∇(Q10) ∈ [448, 606], ∇(Q11) ∈ [896, 1184], ∇(Q12) ∈ [1792, 2224], ∇(Q13) ∈ [3584, 4680]。
• ペテルセングラフのデサイクル数は正確に 3 である。
• 完全グラフでは ∇(Kp) = p−2 であり、r ≤ s を満たす完全二部グラフ Kr,s では ∇(Kr,s) = r−1 である。
• セルサイズ4のスネークのデサイクル数は正確に ⌊n/3⌋ であり、他のセルサイズについては変換により結果が導かれる。
• n 頂点をもつ最大外部平面グラフでは、1 ≤ ∇(G) ≤ ⌊n/3⌋ が成り立つ。