[論文レビュー] The deformation of symplectic critical surfaces in a Kähler surface-I

Xiaoli Han, Jiayu Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ケーラー多様体内のシンプレクティック面のクラスにおいて、関数 $L_{\beta} = \int_\Sigma \frac{1}{\cos^\beta \alpha} \, d\mu$ の臨界点として $\beta$-シンプレクティック臨界面を定義し、その性質を研究する。Euler-Lagrange 方程式 $\cos^3\alpha \, \mathbf{H} = \beta (J(J\nabla\cos\alpha)^\top)^\bot$ を導出し、$\beta$ が正の安定解をもつ集合が開であることを証明した。また、回転対称な例についての存在・一意性結果と、二次面積成長をもつ完全な面についてのリウヴィル型定理を確立した。

ABSTRACT

In this paper we derive the Euler-Lagrange equation of the functional $L_β=\int_Σ\frac{1}{\cos^βα}dμ, ~~β eq -1$ in the class of symplectic surfaces. It is $\cos^3α{\bf{H}}=β(J(J abla\cosα)^ op)^\bot$, which is an elliptic equation when $β\geq 0$. We call such a surface a $β$-symplectic critical surface. We first study the properties for each fixed $β$-symplectic critical surface and then prove that the set of $β$ where there is a stable $β$-symplectic critical surface is open. We believe it should be also closed. As a precise example, we study rotationally symmetric $β$-symplectic critical surfaces in ${\mathbb C}^2$ carefully .

研究の動機と目的

• ケーラー多様体内のシンプレクティック面のクラスにおいて、関数 $L_\beta = \int_\Sigma \cos^{-\beta}\alpha \, d\mu$ の臨界点として $\beta$-シンプレクティック臨界面を定義し、その性質を分析すること。
• 関数 $L_\beta$ のEuler-Lagrange 方程式を導出し、$\beta \geq 0$ のとき楕円型であることを示し、そのような面の幾何学的・解析的性質を研究すること。
• 最小曲面（$\beta = 0$）から正則曲線（$\beta \to \infty$）への変形を、$\beta$-シンプレクティック臨界面を介して行う連続的変形法のプログラムを提唱すること。
• ${\mathbb{C}}^2$ 内の回転対称な $\beta$-シンプレクティック臨界面についての存在・一意性結果を確立し、二次面積成長の下でリウヴィル型定理を証明すること。

提案手法

• 関数の変分を用いて $L_\beta$ のEuler-Lagrange 方程式を導出し、$\cos^3\alpha \, \mathbf{H} = \beta (J(J\nabla\cos\alpha)^\top)^\bot$ を得る。$\beta = 0$ のとき、これは最小曲面方程式に帰着する。
• $\beta \geq 0$ のとき、接方向微分同相変換の下で方程式が楕円型であることを証明し、良好な解析的性質を保証する。
• $L_\beta$ の第二変分公式を確立し、解の安定性を分析する。これにより、正のスカラー曲率およびトポロジー的条件の下で正則性の基準を得る。
• Whiteの定理（ジャコビ作用素のFredholm性）と陰関数定理を用いて、正に安定な $\beta$-シンプレクティック臨界面をもつ $\beta$ の集合が $[0, \infty)$ で開であることを証明する。
• ${\mathbb{C}}^2$ 内の回転対称解を、径数関数 $f(r), g(r)$ の常微分方程式系への還元により分析し、その漸近的挙動を研究する。
• 有界性 $1/\cos\alpha$ と二次面積成長の下で、$\cos\alpha$ が定数であることを示し、その結果として正則性を証明するリウヴィル定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ケーラー多様体内のシンプレクティック面において、関数 $L_\beta = \int_\Sigma \cos^{-\beta}\alpha \, d\mu$ のEuler-Lagrange 方程式は何か？また、どの $\beta$ に対して楕円型であるか？
• RQ2 正に安定な $\beta$-シンプレクティック臨界面が存在する $\beta$ の集合が $[0, \infty)$ で開であることを示せるか？
• RQ3 ${\mathbb{C}}^2$ 内の回転対称な $\beta$-シンプレクティック臨界面は存在するか？また、$\beta \to 0$ のときの挙動はいかなるものか？
• RQ4 ${\mathbb{C}}^2$ 内の完全な $\beta$-シンプレクティック臨界面が正則的になるための幾何学的・解析的条件は何か？
• RQ5 二次面積成長と $\cos\alpha$ の一様有界性が、${\mathbb{C}}^2$ 内の完全な $\beta$-シンプレクティック臨界面を正則的にするか？

主な発見

• 関数 $L_\beta$ のEuler-Lagrange 方程式は $\cos^3\alpha \, \mathbf{H} = \beta (J(J\nabla\cos\alpha)^\top)^\bot$ であり、$\beta \geq 0$ のとき楕円型である。これは $\beta = 1$ のシンプレクティック臨界面の場合を一般化する。
• $S = \{ \beta \in [0, \infty) \mid \text{正に安定な } \beta\text{-シンプレクティック臨界面が存在する} \}$ は $[0, \infty)$ で開である。これはFredholm理論と陰関数定理を用いて確立された。
• ${\mathbb{C}}^2$ 内の回転対称な $\beta$-シンプレクティック臨界面について、解族 $\Sigma_\beta^\pm$ は $\beta \to 0$ のとき局所的に一様に半カタネノイドに収束し、不安定なカタネノイドの周囲に2つの解が存在する。
• ${\mathbb{C}}^2$ 内の完全な回転対称 $\beta$-シンプレクティック臨界面で $\cos\alpha \geq \delta > 0$ を満たすものがあれば、それは平面に他ならない。さもなければ原点で $\cos\alpha \to 0$ となる。
• 二次面積成長と $\cos\alpha \geq \delta > 0$ の下で、${\mathbb{C}}^2$ 内の完全な $\beta$-シンプレクティック臨界面は、ある適切な複素構造に関して正則的である。これは、上半調和性と放物的性質による。