[論文レビュー] The Deformation Space of Calabi-Yau n-folds with canonical singularities can be obstructed

Mark Gross|ArXiv.org|Feb 25, 1994

Geometry and complex manifolds参考文献 2被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、特異点が正則なカルビ・ヤウ $n$-fold の変形空間が、滑らかなカルビ・ヤウの族と、終末的特異点をもつカルビ・ヤウの族の交わりに含まれるカルビ・ヤウ $n$-fold $X$ を構成することにより、その変形空間が障害を受ける可能性がある反例を提示している。これにより、$X$ におけるクルンシ空間が特異的であることが示され、結果として変形理論が障害を受けることが証明される。

ABSTRACT

This paper gives a simple example of a family of Calabi-Yaus of any dimension with canonical singularities of dimension one, whose Kuranishi space is singular. Thus the Bogomolov-Tian-Todorov unobstructedness theorem is not true for Calabi-Yaus with canonical singularities.

研究の動機と目的

• 正則特異点をもつカルビ・ヤウ $n$-fold の変形空間が、より穏やかな特異点の場合に知られているように非障害的であるかどうかを検討すること。
• 正則特異点が常に非障害的変形理論をもたらすという予想の反例を提供すること。
• このようなカルビ・ヤウのモジュライ空間が、特定の点で非連結的でかつ特異的であることを示すこと。
• 正則特異点をもつカルビ・ヤウ $n$-fold のクルンシ空間が特異的であることが示され、その結果として変形理論が障害を受けることを確立すること。

提案手法

• 射影バンドル $P_1 = \mathbb{P}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}^{\oplus(n+1)})$ と $P_2 = \mathbb{P}(\mathcal{E})$ を用いて、2つの異なるカルビ・ヤウ $n$-fold の族を構成する。ここで $\mathcal{E} = \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-1) \oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}^{\oplus(n-1)} \oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(1)$ である。
• カルビ・ヤウ $n$-fold を $H^0(\omega_{P_i}^{-1})$ 内の切断の零点集合として定義する。一般の $s$ に対して $X_1(s)$ は滑らかであり、$X_2(s)$ は $P_2$ 内の曲線 $C \subset P_2$ に正則特異点をもつ。
• 短い完全系列から誘導される $S^{n+1}\mathcal{E}$ 上のフィルトレーションを用いて、層コホモロジーを解析し、正則特異点をもつ切断を生成する $H^0(\omega_{P_2}^{-1})$ の部分空間 $V$ を構成する。
• $T = \mathbb{A}^1 \times \mathbb{P}^1$ 上のユニバーサル拡張バンドル $\mathcal{F}$ を用いて、平坦族 $\mathcal{X} \to \mathbb{A}^1$ を構成する。このとき $\mathcal{X}_1$ は滑らかであり、$\mathcal{X}_0 = X_2(s)$（$s \in V$）である。
• グローデンの定理を適用し、制限写像 $\phi_x$ を解析することで、$\phi_0$ の像がちょうど $V$ であることを示し、$X_2(s)$ が滑らかなカルビ・ヤウと変形同値であることを保証する。
• 補題 2.1 を用いて、クルンシ空間が $X_2(s)$ で特異的であることを結論づけ、変形理論が障害を受けることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則特異点をもつカルビ・ヤウ $n$-fold の変形空間は非障害的か？
• RQ2 正則特異点をもつカルビ・ヤウ $n$-fold は、2つの異なるカルビ・ヤウ $n$-fold の族の交わりに含まれるか？
• RQ3 このような点がモジュライ空間に存在することは、変形理論が障害を受けることを示唆するか？
• RQ4 正則特異点をもつカルビ・ヤウ $n$-fold のクルンシ空間が特異的であることは可能か？
• RQ5 正則特異点をもつカルビ・ヤウと滑らかなカルビ・ヤウをつなぐ変形族は、カルビ・ヤウ条件を保ちながら存在するか？

主な発見

• 曲線 $C \subset P_2$ に沿って正則特異点をもつカルビ・ヤウ $n$-fold $X_2(s)$ のクルンシ空間は、$X_2(s)$ で特異的であり、変形理論が障害を受けることが証明される。
• $n \geq 3$ のとき、正則特異点をもつカルビ・ヤウ $n$-fold $X_2(s)$ は、$\mathbb{A}^1$ 上の平坦族を介して滑らかなカルビ・ヤウ $n$-fold $X_1(s')$ と変形同値である。
• ユニバーサル拡張バンドル $\mathcal{F}$ を用いて構成された族 $\mathcal{X} \to \mathbb{A}^1$ は、$\mathcal{X}_1 = X_1(s')$（滑らか）かつ $\mathcal{X}_0 = X_2(s)$（正則特異点）を満たす。
• 制限写像 $\phi_0$ の像はちょうど $V = H^0(G^{n-1}(2))$ であり、これは正則特異点をもつ切断に対応する。この性質により、両方のタイプを結ぶ族が保証される。
• カルビ・ヤウ $n$-fold のモジュライ空間は、$X_2(s)$ で非連結的であり、滑らかなカルビ・ヤウの成分と、終末的特異点をもつカルビ・ヤウの成分の交わりに位置する。
• $n=3$ のとき $X_2(s)$ は非特異的であるが、$n>3$ のとき $X_2(s)$ は $C$ に沿って多重度 $\lfloor n/2 \rfloor$ の特異点をもつが、$s \in V$ のとき正則特異点をもつ。