[論文レビュー] The deformations of antibracket with even and odd deformation parameters, defined on the space DE_1

S. E. Konstein, I. V. Tyutin|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2011

Advanced Topics in Algebra参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$ \mathbb{R}^1$ 上で compact に台を持つ関数 $ \xi f_0(x) + f_1(x)$ からなる superalgebra $ \mathbf{DE}_1$ 上の antibracket の変形を調査する。コホロロジー的手法を用いて、$H^2(\mathbf{DE}, \mathbf{DE})$ を計算し、$H^2(\mathbf{D}_1, \mathbf{E}_1)$ よりも豊かな構造を明らかにする。また、1つの偶数パラメータと最大3つの奇数パラメータを持つ変形、および任意の奇数パラメータを持つ変形を分類する。主な結果は、$\hbar$ と Grassmann 変数における形式的べき級数の再帰的解を用いた、このような変形の完全分類である。

ABSTRACT

We consider antiPoisson superalgebra realized on the smooth Grassmann-valued functions of the form ξf_0(x)+f_1(x), where f_0 has compact support on R, and with the parity opposite to that of the Grassmann superalgebra realized on these functions. The deformations with even and odd deformation parameters of this superalgebra are found.

研究の動機と目的

• $\mathbf{D}_1$ から $\mathbf{DE}_1$ への antibracket 変形の分類を拡張すること。$\mathbf{DE}_1$ は、コンパクトに台を持つ Grassmann 成分をもつ関数を含む。
• antibracket の無限小変形を支配する第二コホロロジー空間 $H^2(\mathbf{DE}, \mathbf{DE})$ を計算すること。
• 1つの偶数変形パラメータと最大3つの奇数パラメータを持つ $\mathbf{DE}_1$ 上の antibracket のすべての可能な変形を分類すること。
• $\hbar$ と Grassmann 変数における再帰的べき級数を用いて、任意の数の奇数パラメータを持つ変形の一般解を導出すること。
• Jacobi型恒等式とコホロロジー的条件を通じて変形パラメータの制約を同定することにより、変形空間の構造を確立すること。

提案手法

• 超コチェインを分析し、コサイクルにかかる条件を導出し、$H^2(\mathbf{DE}, \mathbf{DE})$ が分布空間と滑らか関数空間の商 $\mathcal{D}'/C^\infty'$ に同型であることを示すことにより、$H^2(\mathbf{DE}, \mathbf{DE})$ を計算する。
• 変形空間をパrameter化するために、$\hbar$ と Grassmann 変数 $\theta_i$ における形式的べき級数展開を用いる。変形パラメータは $c_{b|k}^l$、$m_{2|7|k}^l$、$\Theta_{q|k}^{(3)}$ である。
• $J(C^{(0)}, C^{(k)}) = 0$ という再帰的式を用いて変形を構成し、$\hbar$ の各次数で Jacobi 恒等式が保たれることを保証する。
• 対称性とテンソル的制約を用いて、3つのケース（I：1つの偶数、最大3つの奇数パラメータ；II：一般の奇数パラメータ；III：3つの Grassmann 生成子）の解を分類する。
• Jacobi 恒等式から導かれるテンソル的および Grassmann 代数的制約、たとえば $\varepsilon^{ijk}c_{j|q}c_{k|3} = 0$、$c_{i|q}d_{i|4} = 0$、$c_{i|3}d_{i|a} = 0$ などの連立系を解く。
• 変形の最終形は、$\hbar^k \theta^{2l}$ および $\hbar^k \theta^{2l+1}$ の項の和として表され、係数は導出された代数的制約を満たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbf{DE}_1$ 上の antibracket に対する第二コホロロジー空間 $H^2(\mathbf{DE}, \mathbf{DE})$ の構造は何か？ また、$H^2(\mathbf{D}_1, \mathbf{E}_1)$ とはどのように異なるか？
• RQ2 1つの偶数および最大3つの奇数変形パラメータを持つ $\mathbf{DE}_1$ 上の antibracket の完全な変形は何か？
• RQ3 異なる数の奇数パラメータが存在する場合、どのようにして変形を体系的に構成できるか？
• RQ4 Jacobi 恒等式を保つために、変形パラメータが満たすべき代数的制約は何か？
• RQ5 $\hbar$ と Grassmann 変数 $\theta_i$ における再帰的解が、antibracket の一貫性ある変形をどのように導くか？

主な発見

• 第二コホロロジー空間 $H^2(\mathbf{DE}, \mathbf{DE})$ は $\mathcal{D}'/C^\infty'$ に同型であり、$H^2(\mathbf{D}_1, \mathbf{E}_1)$ よりもはるかに大きな変形空間を示唆している。$H^2(\mathbf{D}_1, \mathbf{E}_1)$ は次元 $3|3$ である。
• 1つの偶数および最大3つの奇数パラメータを持つすべての変形は、$\hbar$ と Grassmann 変数における再帰的解を用いて分類され、$\varepsilon^{ijk}c_{j|q}c_{k|3} = 0$ や $c_{i|q}d_{i|4} = 0$ といった制約が Jacobi 恒等式の保存を保証する。
• 3つの Grassmann 生成子 $\theta_1, \theta_2, \theta_3$ を持つ場合、一般解は $C^{III} = m_{2|0} + \hbar\theta_p c_{p|p'}m_{2|p'} + \hbar^2 \gamma^i (d_{i|a}m_{2|a} + m_{2|7,i}) + \hbar^3 \beta (e_p m_{2|p'} - c_{i|2}(d_{i|6}C_{26} + C_{27,i}))$ で与えられ、$\beta = \theta_1\theta_2\theta_3$ である。
• 変形パラメータは、$\varepsilon^{ijk}c_{j|q}c_{k|3} = 0$、$c_{i|q}d_{i|4} = 0$、$c_{i|3}d_{i|a} = 0$、$c_{i|3}\omega_i = 0$ といったテンソル的および Grassmann 代数的制約の連立系を満たす。これらは Jacobi 恒等式から導出される。
• 全ての変形は $C^{II} = \mathcal{N}^{II}(c_{b|[\ty]}^{[2]|[\ty]}, m_{2|7|[\ty]}^{[2]|[\ty]}, \Theta_{q|[\ty]}^{(3)|[k_0+1]}) + \hbar^4 C^{(4)II} + O(\theta^5)$ として表され、$J(C^{(0)II}, C^{(4)II}) = 0$ を満たす。最終的な解は、$\hbar$ と $\theta$ における形式的べき級数であり、$k_0$ 次で非ゼロ係数を持つ。
• 分類により、$c_{b|k_0}^0$ または $m_{2|7|k_0}^0$ の少なくとも一方が非ゼロでなければならないことが示され、各次数で非自明な変形が存在することを保証する。