[論文レビュー] The degenerate Heisenberg category and its Grothendieck ring

Jonathan Brundan, Alistair Savage+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、任意の整数中心荷重 $k \in \mathbb{Z}$ における、退化ヘイゼンベルクカテゴリの加法的カルーブィ圏のグロテンディーク環が、無限次元ヘイゼンベルクリー代数の普遍包あらゆる環の $\mathbb{Z}$-形式に同型であることを証明し、クラス・ホヴァノフの予想を確認するとともに、任意の $k$ へと拡張する。証明はストリング図式とカテゴリフィケッドなコマルティプリケーション関係を用いて、代数的構造のカテゴリフィケーションを確立する。

ABSTRACT

The degenerate Heisenberg category $\mathcal{H}eis_k$ is a strict monoidal category which was originally introduced in the special case $k=-1$ by Khovanov in 2010. Khovanov conjectured that the Grothendieck ring of the additive Karoubi envelope of his category is isomorphic to a certain $\mathbb{Z}$-form for the universal enveloping algebra of the infinite-dimensional Heisenberg Lie algebra specialized at central charge $-1$. We prove this conjecture and extend it to arbitrary central charge $k \in \mathbb{Z}$. We also explain how to categorify the comultiplication (generically).

研究の動機と目的

• 中心荷重 $k = -1$ における、退化ヘイゼンベルクカテゴリの加法的カルーブィ圏のグロテンディーク環が、無限次元ヘイゼンベルクリー代数の普遍包あらゆる環の $\mathbb{Z}$-形式に同型であるというクラス・ホヴァノフの予想を証明すること。
• この同型を任意の整数中心荷重 $k \in \mathbb{Z}$ に拡張し、元の予想を一般化すること。
• 一般中心荷重における普遍包あらゆる環 $U(\mathfrak{h})$ のコマルティプリケーションのカテゴリフィケーションを提供すること。
• グロテンディーク環と $k$-変形されたペアリングを持つ対称関数の環との間の標準的同型を確立すること。
• カテゴリが厳密なピvォタル構造を備え、その対象がヤングの対称化子を用いてシュール関数をカテゴリフィケーションすることを示すこと。

提案手法

• 普遍包あらゆる環 $U(\mathfrak{h})/(c - k)$ をモデルにした生成子と関係式を用いて、$k$-線型な厳密モノイダル圏として退化ヘイゼンベルクカテゴリ $\mathrm{Heis}_k$ を構成すること。
• 加法的カルーブィ圏のグロテンディーク環 $K_0(\mathrm{Kar}(\mathrm{Heis}_k))$ を、$\mathrm{Heis}_k$ の分裂グロテンディーク群として定義し、テンソル積による乗法を備えること。
• ストリング図式の計算を用いて、太いストランド、交差、カップ、キャップ、バブルを含む射を表現し、対称関数および $k$-変形ペアリングから導かれる関係を用いること。
• 生成子をカテゴリフィケートド・シュール関数の類へ写像する環準同型 $\gamma_k: \mathrm{Heis}_k \to K_0(\mathrm{Kar}(\mathrm{Heis}_k))$ を定義すること。
• カテゴリフィケートド対称関数のテンソル積と、分割および $k$-有界分割によって添字づけられた直和との間の明示的同型を構成することで、$\gamma_k$ の全射性を証明すること。
• 自己同型 $\Omega_k$ と余元を用いて、$k$ と $-k$ におけるカテゴリを関連付け、帰納法および図式的恒等式を用いて、主要な同型定理を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $k \in \mathbb{Z}$ に対して、退化ヘイゼンベルクカテゴリの加法的カルーブィ圏のグロテンディーク環は、$U(\mathfrak{h})/(c - k)$ の $\mathbb{Z}$-形式に同型であるか？
• RQ2 $U(\mathfrak{h})$ におけるコマルティプリケーションは、$\mathrm{Heis}_k$ の文脈でカテゴリフィケーション可能か？
• RQ3 カテゴリ $\mathrm{Heis}_k$ は、モノイダル構造および双対性構造と整合する厳密なピvォタル構造を備えているか？
• RQ4 $K_0(\mathrm{Kar}(\mathrm{Heis}_k))$ 内のカテゴリフィケートド・シュール関数 $[S^\pm_\lambda]$ の類は線形独立であり、環を生成するか？
• RQ5 同型 $\gamma_k$ は、コマルティプリケーションおよび余元を含むホップ代数構造のカテゴリフィケーションへと拡張可能か？

主な発見

• グロテンディーク環 $K_0(\mathrm{Kar}(\mathrm{Heis}_k))$ は、$U(\mathfrak{h})/(c - k)$ の $\mathbb{Z}$-形式 $\mathrm{Heis}_k$ に同型であり、任意の $k \in \mathbb{Z}$ に対してクラス・ホヴァノフの予想が証明された。
• 同型 $\gamma_k: \mathrm{Heis}_k \to K_0(\mathrm{Kar}(\mathrm{Heis}_k))$ は単射かつ全射であり、$s^\pm_\lambda \mapsto [S^\pm_\lambda]$ を満たし、$[X] = 0$ ならば $\mathrm{Kar}(\mathrm{Heis}_k)$ 内で $X = 0$ である。
• $k \geq 0$ のとき、図式の縦ベクトルで定義される射 $\theta_{m,n}$ は、$H^+_m \otimes E^-_n$ と $\bigoplus_{r=0}^{\min(m,n)} \bigoplus_{\lambda \in P_{r,k}} E^-_{n-r} \otimes H^+_{m-r}$ の間の標準的同型を与える。これにより、グロテンディーク環における主要関係が証明される。
• $k = l + m$ のとき、コマルティプリケーション $\delta_{l|m}: \mathrm{Heis}_k \to \mathrm{Heis}_l \otimes \mathrm{Heis}_m$ は、カテゴリ上のモノイダル関手構造を用いて図式的にカテゴリフィケーション可能である。
• 自己同型 $\Omega_k$ と余元 $\sigma_k$ は、$\Omega_k: \mathrm{Heis}_k \to \mathrm{Heis}_{-k}$ および $\sigma_k: \mathrm{Heis}_k \to \mathrm{Heis}_{-k}^{\mathrm{op}}$ を満たし、カテゴリフィケートド代数的構造を保存する。
• カテゴリ $\mathrm{Heis}_k$ は厳密にピvォタルであり、双対性はストリング図式の180度回転によって与えられ、対象 $\mathbf{1}$ と $\mathbf{1}^*$ は互いに双対である。