[論文レビュー] The Delta square conjecture

Michele D’Adderio, Alessandro Iraci+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、装飾付き部分ラベル付きスクエアパスを用いた対称関数 $\frac{[n-k]_t}{[n]_t}\Delta_{h_m}\Delta_{e_{n-k}}\omega(p_n)$ の一般化されたデルタスクエア予想を提示する。これはルーリングとウォーリントンのスクエア予想および一般化デルタ予想を拡張し、$q=0$ 専用化およびシュレーディンガーの場合を含む特殊ケースを証明する。これは $q,t$-スクエア定理を一般化する。

ABSTRACT

We conjecture a formula for the symmetric function $\frac{[n-k]_t}{[n]_t}Δ_{h_m}Δ_{e_{n-k}}ω(p_n)$ in terms of decorated partially labelled square paths. This can be seen as a generalization of the square conjecture of Loehr and Warrington (Loehr, Warrington 2007), recently proved by Sergel (Sergel 2017) after the breakthrough of Carlsson and Mellit (Carlsson, Mellit 2018). Moreover, it extends to the square case the combinatorics of the generalized Delta conjecture of Haglund, Remmel and Wilson (Haglund, Remmel, Wilson 2015), answering one of their questions. We support our conjecture by proving the specialization $m=q=0$, reducing it to the same case of the Delta conjecture, and the Schröder case, i.e. the case $\langle \cdot ,e_{n-d}h_d angle$. The latter provides a broad generalization of the $q,t$-square theorem of Can and Loehr (Can, Loehr 2006). We give also a combinatorial involution, which allows to establish a linear relation among our conjectures (as well as the generalized Delta conjectures) with fixed $m$ and $n$. Finally, in the appendix, we give a new proof of the Delta conjecture at $q=0$.

研究の動機と目的

• ルーリングとウォーリントンのスクエア予想を、対称関数と装飾付きスクエアパスを含むより広範な組合せ的枠組みへ拡張すること。
• ハグランド、レメール、ウィルソンの一般化デルタ予想をスクエアパスの設定へ一般化すること。
• 2015年ハグランド＝レメール＝ウィルソンの論文で提起された、一般化デルタ予想のスクエアパスモデルにおける組合せ的性質に関する未解決問題を解決すること。
• 固定された $m$ および $n$ に対して、装飾付きスクエアパス上の新しい組合せ的対合を用いて、予想の線形関係を確立すること。
• デルタ予想の $q=0$ 場合に対する新しい証明を提供し、自己完結的であり、独立した関心を引く可能性があること。

提案手法

• スケーリング係数 $\frac{[n-k]_t}{[n]_t}$ を含む新しい対称関数の公式を提示。この公式は、装飾付き部分ラベル付きスクエアパスの生成関数に等しいと予想される。
• 組合せ的対象として：装飾付き部分ラベル付きスクエアパスを導入。面積、dinv、ラベル部分の統計量を追跡する。
• ハル＝リトルウッド多項式 $\widetilde{H}_\mu$、単項式 $p_n$、および対合 $\omega$ を含む対称関数の恒等式を用い、対称関数側をパス統計量へ関連付ける。
• $q=0$ 専用化を適用し、一般化デルタスクエア予想を既知のデルタ予想の $q=0$ 場合へ還元し、[Garsia-Haglund-Remmel-Yoo-2017] で得られた既知の結果を活用する。
• シュレーディンガーの場合 $\langle \cdot, e_{n-d}h_d \rangle$ を、キャンとルーリングの $q,t$-スクエア定理を一般化することで証明。パスの分解と生成関数の恒等式を用いる。
• 装飾付き部分ラベル付きスクエアパス上の新しい組合せ的対合を導入。この対合は重要な統計量を保存し、固定された $m$ および $n$ に対して予想の線形関係を確立し、対称関数の恒等式へリンクする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化デルタ予想は、デルタパスとスクエアパスの組合せ的性質を統一するスクエアパスモデルへ拡張可能か？
• RQ2 一般化デルタスクエア予想は、$m=k=0$ のとき、既知のスクエア予想へ還元されるか？
• RQ3 一般化デルタスクエア予想のシュレーディンガーの場合 $\langle \cdot, e_{n-d}h_d \rangle$ は、キャンとルーリングの $q,t$-スクエア定理の広範な一般化であるか？
• RQ4 一般化デルタスクエア予想の $q=0$ 専用化は、デルタ予想の $q=0$ 場合へ還元することで証明可能か？
• RQ5 固定された $m$ および $n$ に対して、一般化デルタスクエア予想の間の線形関係を裏付ける組合せ的構造は何か？

主な発見

• 一般化デルタスクエア予想は、$m=k=0$ のとき、ルーリングとウォーリントンのスクエア予想へ還元され、既知の定理と整合性を確認する。
• 一般化デルタスクエア予想の $q=0$ 専用化は、既に確立済みのデルタ予想の $q=0$ 場合へ還元することで証明された。
• 一般化デルタスクエア予想のシュレーディンガーの場合 $\langle \cdot, e_{n-d}h_d \rangle$ は証明され、キャンとルーリングの $q,t$-スクエア定理の広範な一般化を提供する。
• 装飾付き部分ラベル付きスクエアパス上に新しい組合せ的対合が構成され、固定された $m$ および $n$ に対して予想の線形関係を確立し、対称関数の恒等式へリンクする。
• デルタ予想の $q=0$ 場合に対する新しい証明が与えられ、対称関数の恒等式とパス統計量を用いる。この証明は自己完結的であり、独立した関心を引く可能性がある。
• シュレーディンガーの場合の証明には、パス上の生成関数の詳細な解析が含まれ、$t$-二項係数の恒等式とハル＝リトルウッド多項式の性質を用い、明示的な $t$-アナログの二項係数が得られる。