[論文レビュー] The Denominators of Power Sums of Arithmetic Progressions

Bernd C. Kellner, Jonathan Sondow|arXiv (Cornell University)|May 15, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、算術級数のべき和の分母に対する明示的公式を導出し、ベルヌーイの古典的公式を拡張する。多項式係数の整数性の基準を確立し、ベルヌーイ多項式の連続する分母の比が無限回にわたって整数である条件を、p進数の桁の和および分母のルート関数と最小公倍数の性質を用いて特徴づける。

ABSTRACT

In a recent paper the authors studied the denominators of polynomials that represent power sums by Bernoulli's formula. Here we extend our results to power sums of arithmetic progressions. In particular, we obtain a simple explicit criterion for integrality of the coefficients of these polynomials. As applications, we obtain new results on the sequence of denominators of the Bernoulli polynomials. A consequence is that certain quotients of successive denominators are infinitely often integers, which we characterize.

研究の動機と目的

• 古典的べき和の既知の分母公式を、算術級数上のべき和へ拡張すること。
• これらの一般化されたべき和多項式の係数が整数である条件を導出すること。
• ベルヌーイ多項式の連続する分母の比が無限回にわたって整数となる条件を特徴づけること。
• p進数の桁の和およびルート関数が、これらの分母の構造を決定する役割を明確にすること。

提案手法

• 一般化されたベルヌーイの公式を用いて、算術級数のべき和 $\mathscr{S}_{m,r}^{n}(x)$ の分母に対する明示的公式を導出する。
• ベルヌーイ多項式の引数の変換を用いて、$S_n(x)$ の古典的分母公式を一般化された場合に適用する。
• 分母 $\mathbb{D}_n = \operatorname{denom}(B_n(x) - B_n)$ の素因数を特定するために、p進数の桁の和 $s_p(n)$ を用いる。
• ルート関数 $\operatorname{rad}(k)$ と最小公倍数を用いて、$\mathfrak{D}_n = \operatorname{denom}(B_n(x))$ および $\mathbf{D}_n = \operatorname{denom}(B_n)$ を表現する。
• 桁の和 $s_p(q^k)$ に対する漸近的評価を用いて、$k \to \infty$ のとき $s_p(q^k) \to \infty$ であることを証明し、無限回にわたる整数比の特徴づけを可能にする。
• アルムキストとモアマンの、有理数点における整数値ベルヌーイ多項式評価に関する結果を、主定理の支持に用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式 $\mathscr{S}_{m,r}^{n}(x)$ が $\mathbb{Z}[x]$ に属するのはどのような条件下か？
• RQ2 比 $\mathbb{D}_n / \mathbb{D}_{n+1}$ および $\mathfrak{D}_n / \mathfrak{D}_{n+1}$ が無限回にわたって整数となるのはいつか？
• RQ3 p進数の桁の和 $s_p(n)$ とルート関数 $\operatorname{rad}(n+1)$ は、ベルヌーイ多項式の分母の構造をどのように決定するか？
• RQ4 パラメータ $m$ と $r$ を持つ算術級数上のべき和 $\mathscr{S}_{m,r}^{n}(x)$ の分母に対する正確な公式は何か？
• RQ5 分母 $\operatorname{denom}(\mathscr{S}_{m,r}^{n}(x))$ が $r$ に依存しないのは、どのような代数的構造に起因するか？

主な発見

• $\mathscr{S}_{m,r}^{n}(x)$ の分母は $\frac{n+1}{\gcd(n+1,m^n)} \cdot \frac{\mathbb{D}_{n+1}}{\gcd(\mathbb{D}_{n+1},m)}$ であり、$r$ に依存しない。
• 多項式 $\mathscr{S}_{m,r}^{n}(x)$ が $\mathbb{Z}[x]$ に属するのは、$\mathfrak{D}_n \mid m$ であるときであり、かつそのときに限る。ここで $\mathfrak{D}_n = \operatorname{lcm}(\mathbb{D}_n, \mathbf{D}_n)$ である。
• 比 $\mathbb{D}_n / \mathbb{D}_{n+1}$ は無限回にわたって整数であり、本稿ではそれが1、2、または奇素数 $p$ に等しくなる場合を特徴づけている。
• $n = 2^k - 1$ のとき、$n+1$ が2のべきでない限り $\mathbb{D}_n / \mathbb{D}_{n+1} = 2$ であり、それ以外の場合は $n+1$ のp進数の桁の和に応じて1または $p$ に等しくなる。
• $n = p^k - 1$（$p$ を奇素数とする）のとき、比 $\mathfrak{D}_n / \mathfrak{D}_{n+1} = p$ であり、$n = p^k q^\ell - 1$ のとき、比は $s_p(q^\ell)$ と $s_q(p^k)$ に応じて1、$p$、$q$、または $pq$ に等しくなる。
• $n \geq 2$ が偶数であるとき、比 $\mathfrak{D}_n / \mathfrak{D}_{n+1}$ は常に奇数であり、分母の構造は $\mathfrak{D}_n$ の平方因子を持たない性質と偶数性によって支配される。