[論文レビュー] The density of expected persistence diagrams and its kernel based estimation

Frédéric Chazal, Vincent Divol|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 33被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、RipsやCechフィルトレーションによる点群や、ブラウン運動のサブレベル集合など、一般のランダムフィルトレーションにおける期待値の持続的図形が、広い条件下でLebesgue測度に関して密度を持つことを確立している。さらに、人気のあるトポロジカル特徴量マップである持続的サーフェスが、この潜在的密度のカーネル密度推定器に等価であることを示し、統計的に一貫性のある交差検証によるバンド幅選択法を提案している。

ABSTRACT

Persistence diagrams play a fundamental role in Topological Data Analysis where they are used as topological descriptors of filtrations built on top of data. They consist in discrete multisets of points in the plane $\mathbb{R}^2$ that can equivalently be seen as discrete measures in $\mathbb{R}^2$. When the data come as a random point cloud, these discrete measures become random measures whose expectation is studied in this paper. First, we show that for a wide class of filtrations, including the Čech and Rips-Vietoris filtrations, the expected persistence diagram, that is a deterministic measure on $\mathbb{R}^2$ , has a density with respect to the Lebesgue measure. Second, building on the previous result we show that the persistence surface recently introduced in [Adams & al., Persistence images: a stable vector representation of persistent homology] can be seen as a kernel estimator of this density. We propose a cross-validation scheme for selecting an optimal bandwidth, which is proven to be a consistent procedure to estimate the density.

研究の動機と目的

• 一般のランダムフィルトレーションモデル下で、期待持続的図形のLebesgue密度の存在を確立すること。
• 持続的サーフェスと期待図形のカーネル密度推定との間の明確な関係を形式化すること。
• トポロジカル特徴量のカーネル密度推定におけるバンド幅選択のための統計的に一貫性のある交差検証手順を開発すること。
• 統計的学習におけるトポロジカル記述子の非漸近的理論的基盤を提供すること。

提案手法

• R²上での離散測度として持続的図形を表現し、その期待値の測度論的解析を可能にする。
• Rips-Vietoris、Cech、およびブラウン運動のサブレベル集合を含む広いクラスのフィルトレーションに対して、期待図形がLebesgue測度に関して密度を持つことを証明する。
• 重み関数と平滑化カーネルを用いて、持続的サーフェスをこの潜在的密度のカーネル密度推定器として特定する。
• 統合二乗誤差の経験的推定値を最小化するように、最適なバンド幅行列を選択する交差検証スキームを構築する。
• 合成データおよび実世界のデータ（例：スマートフォンの加速度計時系列）にこの手法を適用し、性能を検証する。
• バンド幅の対数スケールのグリッドを用い、図形間のペアワイズカーネル評価に基づくスコアを計算することで、最適なスムージングパラメータを推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 RipsやCechのような一般的なフィルトレーションにおける期待持続的図形は、Lebesgue密度を持つのか？
• RQ2 持続的サーフェスは、期待持続的図形のカーネル密度推定器として解釈可能か？
• RQ3 持続的サーフェス推定におけるバンド幅選択のための原理的かつ一貫性のある手法は存在するか？
• RQ4 交差検証手順は、合成データおよび実データにおいて実際の性能をどのように発揮するか？
• RQ5 変動が存在する中で、この手法は真のトポロジカル信号をどれほど正確に回復し、ノイズを効果的に抑制できるか？

主な発見

• Rips、Cech、およびブラウン運動のサブレベルフィルトレーションにおける期待持続的図形は、Lebesgue測度に関して密度を持つ。
• 持続的サーフェスは、数学的に期待図形の密度のカーネル密度推定器に等価である。
• 提案されたバンド幅選択のための交差検証手順は一貫性が保証されており、最適なスムージングパラメータへの収束を保証する。
• 合成データでは、主なトポロジカル特徴が適切に回復され、3つの異なるクラスに対してバンド幅h=0.22、0.60、0.17が選択された。
• 実際の加速度計データでは、バンド幅が0.0089、0.01833、0.0089に選ばれ、明確に分離可能な異なる持続的サーフェスが得られ、歩行パターンの分離に成功した。
• トポロジカルノイズは効果的に抑制された。トーラスの持続的サーフェスでは、図形の変動にもかかわらず、2つの主要な領域しか現れないことが示された。