[論文レビュー] The density of ramified primes in semisimple p-adic Galois representations

Chandrashekhar Khare, C. S. Rajan|ArXiv.org|Nov 27, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、数体上の連続的で半単純なp進ガロア表現において、分岐素数の集合が密度ゼロであることを証明する。最大イデアルのべきを法とする還元と、分解群における表現の持ち上げの解析を用いて、還元のレベルが上昇するにつれて分岐素数の上付き密度がゼロに近づくことを示し、p進リー群におけるタウム分岐と特性多項式の性質に依拠する。

ABSTRACT

We prove that the density of ramified primes in semisimple p-adic representations of Galois groups of number fields is 0. Ravi Ramakrishna has produced examples of such representations that are infinitely ramified.

研究の動機と目的

• 連続的で半単純なp進ガロア表現における分岐素数の集合が密度ゼロであることを確立すること。
• 強い乗法的単一定理のような古典的結果を、無限に分岐する表現の状況に拡張し、非分岐素数が稠密であることを示すこと。
• 有限分岐を仮定しないで、半単純なp進表現の整合的系の使用を正当化すること。
• 分解群における残余表現の持ち上げの構造を解析して、分岐密度を制御すること。
• このような表現の収束列における有理点の体の研究の基盤を提供すること。

提案手法

• Kの整数環Oを値とするGLm(O)への整数的モデルへの表現ρ: GL → GLm(K)の還元。
• cρ,nを、ρ1で非分岐だが、mnを法として分岐する持ち上げを許す素数の上付き密度として定義。
• Frobenius σq とタウム分岐τq によって生成されるQqの最大タウム分岐拡大のガロア群Gqの構造を利用。
• Kの有限拡大における単位根の性質とクライスナーの補題を用いて、τq作用の固有値を評価。
• 十分大きなnに対して、cρ,nに寄与するのはユニポテンツ持ち上げのみであることを示し、半安定の場合に還元。
• 特性多項式の結果式とセボタレフ密度定理を用いて、下位次元部分多様体に含まれるフロベニウス元の割合を評価し、cρ,n → 0 を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的で半単純なp進ガロア表現における分岐素数の集合は、密度ゼロであるか？
• RQ2 有限分岐を仮定しないで、半単純なp進表現の整合的系を意味的に研究できるか？
• RQ3 nを増加させたとき、pnを法として分岐する持ち上げを許す素数の密度の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ4 フロベニウス元の特性多項式は、残余表現の持ち上げの可能性をどのように制約するか？
• RQ5 正の標数の関数体において、この密度結果の類似は存在するか？

主な発見

• 任意の連続的で半単純なp進ガロア表現ρ: GL → GLm(K)において、分岐素数の集合は上付き密度ゼロである。
• 十分大きなnに対して、cρ,nに寄与するのはρn|Dqのユニポテンツ持ち上げのみであり、それらは特性多項式の結果式によって制約される。
• ρ′ = ρ ⊕ εの像に含まれるフロベニウス元のうち、ある多項式条件（F ≡ 0 mod pn）を満たすものの割合はO(pn(d−δ))のオーダーで減少し、これによりcρ,n → 0 となる。
• n → ∞のとき、密度cρ,nはゼロに近づくが、Ynを˜Ynの代わりに精査することで、O(p−n)の定量的推定が可能となる。
• 標数≠pの関数体に対してもこの結果は成り立つが、標数pではp-コホモロジー次元が1のため、成り立たない。
• 連続的で半単純なアーベル的表現の分岐集合は有限であり、アーベル的Lie代数をもつ表現に対しても同様のことが成り立つ。