[論文レビュー] The density of the terms in an elliptic divisibility sequence having a fixed G.C.D. with their index

Seoyoung C. Kim|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、楕円割り切れる数列（EDS）におけるインデックス集合 $\mathscr{A}_{E,k} = \{n \geq 1 : \gcd(n, D_n) = k\}$ について、構造的特徴付けと漸近的密度の公式を確立する。$\mathscr{A}_{E,k}$ の漸近的密度が存在して正であることは、集合が空でない場合に限り成り立ち、Möbius関数を用いた明示的な密度公式 $\mathbf{d}(\mathscr{A}_{E,k}) = \sum_{d=1}^\infty \frac{u(d)}{l(dk)}$ が得られる。これは、楕円曲線のフロベニウストレースの分布と関連する級数の収束性に関する条件下で成り立つ。

ABSTRACT

Let $\mathbf{D}=(D_{n})_{n\geq 1}$ be an elliptic divisibility sequence associated to the pair $(E,P)$. For a fixed integer $k$, we define $\mathscr{A}_{E,k}=\{n\geq 1 : \gcd(n,D_{n})=k\}$. We give an explicit structural description of $\mathscr{A}_{E,k}$. Also, we explain when $\mathscr{A}_{E,k}$ has positive asymptotic density using bounds related to the distribution of trace of Frobenius of $E$. Furthermore, we get explicit density of $\mathscr{A}_{E,k}$ using the Möbius function.

研究の動機と目的

• 与えられた楕円割り切れる数列 $\mathbf{D}$ と楕円曲線 $E$、点 $P$ に対して、集合 $\mathscr{A}_{E,k} = \{n \geq 1 : \gcd(n, D_n) = k\}$ を特徴付けること。
• 集合 $\mathscr{A}_{E,k}$ が正の漸近的密度を持つ条件を特定し、これと楕円曲線 $E$ のフロベニウストレースの分布を関連付けること。
• Möbius関数と最小公倍数 $l(n) = \mathrm{lcm}(n, r_n)$（$r_n$ は $n$ の出現ランク）を用いて、$\mathscr{A}_{E,k}$ の漸近的密度の明示的公式を導出すること。
• フィボナッチ数列で知られている結果を、曲線と点の構造が多様なより複雑な設定の楕円割り切れる数列へと一般化すること。
• 無限級数 $\sum_{d=1}^\infty \frac{\mu(d)}{l(dk)}$ が収束し、$\mathscr{A}_{E,k}$ の漸近的密度に等しくなるための条件を確立すること。

提案手法

• 定義：$\mathscr{A}_{E,k} = \{n \geq 1 : \gcd(n, D_n) = k\}$ ここで $D_n$ は楕円曲線 $E$ 上の点 $[n]P$ の $x$-座標の分母である。
• 導入：$r_n = \min\{r \geq 1 : n \mid D_r\}$ を $n$ の出現ランクとし、$l(n) = \mathrm{lcm}(n, r_n)$ を定義する。これは EDS における整除性の振る舞いを支配する。
• 集合 $\mathscr{L}_k = \{p : p \mid k\} \cup \left\{ \frac{l(kp)}{l(k)} : p \nmid k \right\}$ を構成し、$\mathscr{N}(\mathscr{L}_k)$ を $\mathscr{L}_k$ の任意の要素でも割り切られない整数の集合と定義する。
• 等式 $\mathscr{A}_{E,k} = \{ l(k)m : m \in \mathscr{N}(\mathscr{L}_k) \}$ を証明し、インデックス集合の構造的記述を提供する。
• 楕円曲線 $E$ のフロベニウストレースの分布に関する境界を用いて、$\mathbf{d}(\mathscr{A}_{E,k})$ の存在と正の性質を確立する条件を導出する。
• 級数 $\sum_{d=1}^\infty \frac{|\mu(d)|}{l(d)} < \infty$ の収束仮定のもとで、密度公式 $\mathbf{d}(\mathscr{A}_{E,k}) = \sum_{d=1}^\infty \frac{\mu(d)}{l(dk)}$ を導出する。Möbius反転と絶対収束を用いて正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円割り切れる数列において、集合 $\mathscr{A}_{E,k} = \{n \geq 1 : \gcd(n, D_n) = k\}$ が正の漸近的密度を持つための条件は何か？
• RQ2 集合 $\mathscr{A}_{E,k}$ の明確な構造的形は何か？ また、最小公倍数 $l(n)$ と出現ランク $r_n$ を用いてどのように記述できるか？
• RQ3 集合 $\mathscr{A}_{E,k}$ の漸近的密度は、Möbius関数を用いて閉形式で表せるか？ また、その公式が成り立つための収束仮定は何か？
• RQ4 楕円曲線 $E$ のフロベニウストレースの分布は、$\mathbf{d}(\mathscr{A}_{E,k})$ の存在性と正の性質にどのように影響を与えるか？
• RQ5 既知のフィボナッチ数列の結果は、どの程度一般化可能か？ また、楕円割り切れる数列の文脈では、どのような新たな課題が生じるか？

主な発見

• 集合 $\mathscr{A}_{E,k}$ が空でないことは、$E$ がCMでないか、またはCMだが有限に異常でない（すなわち、すべての $p$ に対して $E(\mathbb{F}_p) \neq p$ となる $p$ が有限個を除いて成り立つ）という仮定のもとで、正の漸近的密度を持つことと同値である。
• 級数 $\sum_{d=1}^\infty \frac{|\mu(d)|}{l(d)}$ が収束する限り、$\mathscr{A}_{E,k}$ の漸近的密度は $\mathbf{d}(\mathscr{A}_{E,k}) = \sum_{d=1}^\infty \frac{\mu(d)}{l(dk)}$ で与えられる。
• 構造的記述 $\mathscr{A}_{E,k} = \{ l(k)m : m \in \mathscr{N}(\mathscr{L}_k) \}$ は、$\mathscr{L}_k$ の禁止除数の集合を用いて、インデックス集合を完全に特徴づけている。
• 級数 $\sum_{d=1}^\infty \frac{|\mu(d)|}{l(d)}$ の収束は、密度公式の有効性にとって不可欠であり、これは $E$ のネロンモデルのファイバーの群構造に依存する。
• 数値例では、部分和 $\sum_{d=1}^n \frac{|\mu(d)|}{l(d)}$ が極めてゆっくりと増加することが示され、多くの曲線に対して収束条件が妥当であると考えられる。
• 密度公式はフィボナッチの場合に一般化されている：フィボナッチ数列では $\mathbf{d}(\mathscr{A}_{F,k}) = \sum_{d=1}^\infty \frac{\mu(d)}{l(dk)}$ であり、本稿ではこの結果を適切な条件下で EDS へと拡張している。