[論文レビュー] The dependence structure for PARMA models with alpha-stable innovations

Joanna Nowicka-Zagrajek, Agnieszka Wyłomańska|ArXiv.org|Aug 13, 2006

Complex Systems and Time Series Analysis被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、従来の分散が定義されない重い尾を持つ$\alpha$-安定分布の innovaion を持つ周期的ARMA（PARMA）モデルにおける依存構造を調査する。従来の分散の代わりに共差分（codifference）と共変動（covariation）を依存度の尺度として導入し、$1 < \alpha < 2$ の範囲でこれらが周期的であり、かつ漸近的に係数$\alpha$に比例することを証明する。これにより、古典的ARMA理論が重尾的で周期的な時系列に拡張される。

ABSTRACT

In this paper we investigate the dependence structure for PARMA models (i.e. ARMA models with periodic coefficients) with symmetric alpha-stable innovations. In this case the covariance function is not defined and therefore other measures of dependence have to be used. After obtaining the form of the bounded solution of the PARMA system with symmetric alpha-stable innovations, we study the codifference and the covariation -- the most popular measures of dependence defined for symmetric stable time series. We show that both considered measures are periodic. Moreover we determine the cases when the codifference and the covariation are asymptotically proportional with the coefficient of proportionality equal to alpha.

研究の動機と目的

• 重い尾を持つため分散が定義されない対称$\alpha$-安定分布のinnovationをもつPARMA(1,1)モデルにおける依存構造を分析すること。
• 分散の代わりに共差分と共変動を依存度の尺度として用いることで、古典的PARMA理論を安定分布のinnovationに拡張すること。
• 周期的係数をもつPARMA(1,1)系における共差分と共変動の周期的性質を確立すること。
• 長時間差における共差分と共変動の漸近的関係を導出し、$\alpha$に比例する関係が成り立つことを示すこと。
• varying $\alpha$ と周期的係数を用いた数値例を通じて理論的結果の妥当性を検証すること。

提案手法

• 周期$T$の周期的係数$b_n$と$a_n$、およびi.i.d.な対称$\alpha$-安定分布のinnovation $\xi_n$ をもつPARMA(1,1)モデルを明示的に定式化する。
• 共差分$CD(X_n, X_m)$と共変動$CV(X_n, X_m)$を、特性関数とスペクトル測度を用いて定義される$\alpha$-安定過程の依存度の尺度として用いる。
• 係数の積$B_{m+1}^n = \prod_{j=m+1}^n b_j$と$P = \prod_{j=1}^T b_j$を用いて、共差分と共変動の閉形式表現を導出する。
• 係数$a_n$と$b_n$の$T$-周期性を活用して、両尺度の周期的性質を確立する。
• $k \to \infty$ における漸近的解析を用い、$|P|^k$ を含む極限を用いて、$CD(X_{n+k}, X_n)/CV(X_{n+k}, X_n) \to \alpha$ および $CD(X_n, X_{n-k})/CV(X_n, X_{n-k}) \to 0$ を示す。
• $T=3$, $\sigma=1$, $\alpha \in \{1.4, 1.7, 2\}$ の条件下でシミュレーションを実施し、共差分、共変動、およびそれらの正規化比をプロットすることで結果を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称$\alpha$-安定分布のinnovationをもつPARMA(1,1)モデルにおいて、共差分と共変動はどのように振る舞うか？
• RQ2 係数$a_n$と$b_n$が周期$T$で周期的であるとき、共差分と共変動は周期的か？
• RQ3 時間差$k$が大きくなるに従って、共差分と共変動の漸近的関係は何か？
• RQ4 $1 < \alpha < 2$ の範囲で、共差分と共変動の漸近的比が$\alpha$に収束するか？
• RQ5 尾指数$\alpha$は、シミュレートされた実現値における依存度の尺度の大きさと周期性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• PARMA(1,1)モデルにおいて、$\alpha$-安定分布のinnovationをもつ場合、共差分と共変動はともに$n$と$m$に関して周期$T$をもつ。
• $1 < \alpha < 2$ の範囲で、漸近的比$\lim_{k \to \infty} CD(X_{n+k}, X_n) / CV(X_{n+k}, X_n) = \alpha$ が成り立ち、係数$\alpha$に比例する関係が確認される。
• $k \to \infty$ のとき、$CD(X_n, X_{n-k}) / CV(X_n, X_{n-k}) \to 0$ となることから、共変動の非対称性が反映される。
• 共差分と共変動の式は、積$P = \prod_{j=1}^T b_j$ を用いて閉形式で導出可能であり、$|P| < 1$ のとき収束が保証される。
• 数値シミュレーションにより、両尺度が周期$T=3$ に従って周期的であることが確認され、正規化比が理論的極限に収束することが示された。
• $\alpha$ が小さくなると、時系列はより重い尾を示し、共差分と共変動の大きさも増加する。これは安定分布の性質と整合的である。