[論文レビュー] The derived Riemann-Hilbert correspondence

Mauro Porta|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2017

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 1被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、滑らかな解析的空間 $X$ の導来 de Rham および Betti 形状を用いて、古典的な局所系統と平坦接続の同値性を導来 $\mathbb{C}$-解析的空間へ拡張することで、Riemann-Hilbert対応の導来版を確立する。主な結果は、Riemann-Hilbert準同型 $\eta_{\mathrm{RH}}$ を通じて、これらの形状上の連接および完全複体の導来圏の同値性であり、古典的対応を導来解析的幾何の文脈に一般化する。

ABSTRACT

In this short paper we prove a derived version of the Riemann-Hilbert correspondence of Deligne and Simpson. Our generalization is twofold: on one side we consider families of representations of the full homotopy type of a smooth analytic space $X$ in the stable $\infty$-category of complexes of coherent sheaves and of perfect complexes; on the other side, we allow the base parametrizing such families to be derived $\mathbb C$-analytic spaces.

研究の動機と目的

• 古典的な Riemann-Hilbert 対応を導来 $$\mathbb{C}$-解析的空間へ一般化し、導来ベースによってパrameter化される局所系統と平坦接続の同値性を拡張すること。
• de Rham および Betti 形状を用いて、高階スタックおよび導来幾何の言語で Riemann-Hilbert 対応を定式化すること。
• Riemann-Hilbert準同型 $\eta_{\mathrm{RH}}: X_{\mathrm{dR}} \to X_{\mathrm{B}}$ が、連接および完全複体の導来圏に同値を誘導することを証明すること。
• 解析的スタック $\mathbf{AnCoh}^{-}$ および $\mathbf{AnPerf}$ の無限小収束性およびカルテジアン性を確立すること。これらは導来対応に不可欠である。

提案手法

• 本稿は、導来 $$\mathbb{C}$-解析的幾何の枠組みを用い、導来解析的空間を $\mathcal{T}_{\mathrm{an}}$-構造付きトポスとしてモデル化する。
• Betti 形状 $X_{\mathrm{B}}$ は、位相空間 $X^{\mathrm{top}}$ に付随する定数スタックとして定義され、de Rham 形状 $X_{\mathrm{dR}}$ は、平坦接続を持つ正則ベクトル束を分類するスタックとして定義される。
• Riemann-Hilbert準同型 $\eta_{\mathrm{RH}}$ は、$X_{\mathrm{dR}}$ から $X_{\mathrm{B}}$ への写像として構成され、古典的対応を導来形で表現する。
• 証明は、導来 Stein 空間 $V$ の Postnikov ツリーに関する帰納法を用い、スタック $\mathbf{AnCoh}^{-}$ および $\mathbf{AnPerf}$ が無限小収束的かつカルテジアンであるという事実を利用する。
• 主要な技術的道具は、解析的平方ゼロ拡大の使用および [11, 12] の分裂拡大上の連接層に関する結果の応用である。
• 同値性は、$X^{\mathrm{top}}$ が収縮可能である場合、すなわち $X_{\mathrm{B}} \simeq *$ であると見なせるため、局所的に帰着され、$p: V \times X_{\mathrm{dR}} \to V$ 沿いの引き戻しは、連接および完全複体の圏上で同値であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な Riemann-Hilbert 対応は、導来 $$\mathbb{C}$-解析的空間上の表現の族へ拡張可能か？
• RQ2 滑らかな解析的空間 $X$ の Betti 形状と de Rham 形状の同値性は、連接層や完全複体といった導来係数へ拡張可能か？
• RQ3 Riemann-Hilbert準同型 $\eta_{\mathrm{RH}}: X_{\mathrm{dR}} \to X_{\mathrm{B}}$ は、導来解析的設定における層の導来圏に同値を誘導するか？
• RQ4 $\mathbf{AnCoh}^{-}$ および $\mathbf{AnPerf}$ スタックが無限小カルテジアンかつ収束的であるための必要十分条件は何か？

主な発見

• 任意の滑らかな解析的空間 $X$ に対して、Riemann-Hilbert準同型 $\eta_{\mathrm{RH}}: X_{\mathrm{dR}} \to X_{\mathrm{B}}$ は、導来圏 $\mathbf{AnCoh}^{-}(X_{\mathrm{B}}) \simeq \mathbf{AnCoh}^{-}(X_{\mathrm{dR}})$ の同値を誘導する。
• 同様に、この準同型は $\mathbf{AnPerf}(X_{\mathrm{B}}) \simeq \mathbf{AnPerf}(X_{\mathrm{dR}})$ を誘導し、古典的対応を完全複体へ拡張する。
• 証明は、解析的平方ゼロ拡大上の局所的解析を通じて、$\mathbf{AnCoh}^{-}$ および $\mathbf{AnPerf}$ の無限小収束性およびカルテジアン性が確立されることに依拠する。
• 同値性は、導来 Stein 空間 $V$ の Postnikov ツリーに関する帰納法を用いて確認され、$X^{\mathrm{top}}$ が収縮可能で $X_{\mathrm{B}} \simeq *$ である場合に帰着される。
• 結果は、導来 $$\mathbb{C}$-解析幾何の文脈で成り立ち、Deligne よりもおよび Simpson の定式化を導来係数および導来ベース空間へ一般化する。
• 同値性は、対称モノイダルな安定 $$\infty$-圏値を持つスタックへの上昇も可能である。