[論文レビュー] The Descartes circles theorem and division by zero calculus

Hiroshi Okumura, Saburou Saitoh|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2017

Mathematics and Applications参考文献 7被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、0/0 = 1/0 = z/0 = 0 であるゼロ除算微積分を用いて、直線や点円を含む退化した場合へのデカルトの円定理の拡張を試みる。曲率を 1/r として再解釈し、特異点においてゼロ除算微積分を適用することで、極限状態においても定理が成立することを示し、バンコフ円や直線（r = ∞ → 曲率 0）・点（r = 0 → 曲率 0）に対する一貫した曲率解釈といった新たな幾何的洞察が得られる。

ABSTRACT

From the viewpoint of the division by zero $(0/0=1/0=z/0=0)$ and the division by zero calculus, we will show that in the very beautiful theorem by Descartes on three touching circles is valid for lines and points for circles except for one case. However, for the exceptional case, we can obtain interesting results from the division by zero calculus.

研究の動機と目的

• 直線や点円を含む退化した場合を含めたデカルトの円定理の拡張を目的とする。
• ゼロ除算微積分（0/0 = 1/0 = z/0 = 0）が、円幾何における特異極限を分析する一貫性があり意味のある枠組みを提供することを示すこと。
• r₃ = 0（点円）または r₃ = ∞（直線）の場合にデカルトの公式が見かけ上破綻することを、ゼロ除算微積分を用いることで解消すること。
• バンコフ円やアルベロス幾何に由来する円などの結果として得られる幾何的構成が、この微積分によって自然に回復されることを示すこと。
• ゼロ除算微積分が、直線と点に対して曲率を自然かつ統一的に解釈でき、幾何的直感と整合することを確立すること。

提案手法

• 孤立特異点（r = 0 および r = ∞ を含む）においても f(a) = C₀ を定義するローラン級数展開を用いて、ゼロ除算微積分を適用する。
• 2つの与えられた円 C₁ と C₂ に接する円のパラメトリック表現を z をパラメータとして用い、z → ∞（すなわち r₃ → 0）の極限をとる。
• 得られた方程式を w = 1/z でパラメータ化し、w = 0 における定数項・一次項・二次項を評価することで、極限的な幾何的対象を抽出する。
• 曲率を 1/r として再解釈し、r = 0（点円）および r = ∞（直線）の両方が曲率 0 を与えることを示し、ゼロ除算微積分と整合する。
• tan(π/2) = 0 を用いて、直交または極限状態の円を含む幾何的構成を解釈する。
• 一般化逆行列（ムーア・ペンローズ逆行列）を方程式 ax = b に適用し、a = 0 かつ b ≠ 0 の場合に x = 0 を解釈することで、不可能性または理想点を表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1 つ以上の円が直線や点円に退化する場合に、デカルトの円定理を意味的に拡張できるか？
• RQ2 ゼロ除算微積分を用いて退化した場合にデカルトの公式を適用したとき、どのような幾何的構成が生じるか？
• RQ3 r₃ = 0 または r₃ = ∞ の場合にデカルトの公式における特異性は、ゼロ除算微積分によってどのように解消されるか？
• RQ4 バンコフ円やアルベロス幾何に由来する既知の特殊な円は、この微積分を用いたデカルトの公式の極限状態として導出可能か？
• RQ5 ゼロ除算微積分の枠組みにおいて、直線と点円の曲率の幾何的解釈は何か？

主な発見

• 1 本の直線と 2 つの円の場合、デカルトの公式は既知の結果に帰着する：1/√r₄ = 1/√r₁ + 1/√r₂（内接円）または 1/√r₄ = 1/√r₂ - 1/√r₁（他の内接円）、ただし r₃ = 0 である。
• 点円（r₃ = 0）に近づく極限として、ゼロ除算微積分により非自明な解が得られる：1/r₄ = 1/r₁ + 1/r₂ であり、これは半径 r₁r₂/(r₁ + r₂) のバンコフ円に対応する。
• ゼロ除算微積分により、第 4 円が C₁、C₂ およびアルベロスの外接円に接する第二の極限円が得られ、その半径は r₁r₂(r₁ + r₂)/(r₁² + r₁r₂ + r₂²) である。
• 3 つの点円（r₁ = r₂ = r₃ = 0）の場合、公式は r₄ = 0 を与え、接する円が点に退化する退化した状況と整合する。
• 3 つの直線（r₁ = r₂ = r₃ = ∞）の場合、曲率は 0 であり、公式は r₄ = 0 を与え、非退化な接円が存在しないことを示し、幾何的不可能性と整合する。
• r₃ = 0 におけるデカルトの公式の特異性は、ゼロ除算微積分によって有限で意味のある値に割り当てられ、バンコフ円のような新たな幾何的対象が明らかになる。