[論文レビュー] The Descent Set and Connectivity Set of a Permutation

Richard P. Stanley|ArXiv.org|Jul 11, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 4被引用数 15

ひとこと要約

本稿は置換 $w$ の接続集合 $C(w)$ を導入し、行列の逆行列関係を通じて古典的降下集合 $D(w)$ と双対性を確立する。$C(w)$ と $D(w)$ の連合分布は、$\eta(S)$ の有理関数として表される行列の $q$-アナログに従うことが示され、特に $\overline{S} \cap T = \emptyset$ のとき $A(q)_{ST} = q^{z(T)} \eta(\overline{S},q)/\eta(\overline{T},q)$ であるという主要な結果が得られ、双対性関係の $q$-アナログが提供される。

ABSTRACT

The descent set D(w) of a permutation w of 1,2,...,n is a standard and well-studied statistic. We introduce a new statistic, the connectivity set C(w), and show that it is a kind of dual object to D(w). The duality is stated in terms of the inverse of a matrix that records the joint distribution of D(w) and C(w). We also give a variation involving permutations of a multiset and a q-analogue that keeps track of the number of inversions of w.

研究の動機と目的

• 接続集合 $C(w)$ を定義し、古典的降下集合 $D(w)$ と双対的な新しい統計量として研究すること。
• 行列の逆行列を用いた分析と連合分布の解析を通じて、$C(w)$ と $D(w)$ の双対性を確立すること。
• 置換における逆転数を追跡する $q$-アナログに双対性を拡張すること。
• $C(w)$ と $D(w)$ が与えられた置換の数およびその $q$-重み付きバージョンの明示的公式を提供すること。

提案手法

• 接続集合を $C(w) = \{i : a_j < a_k \text{ for all } j \leq i < k\}$ と定義し、置換が「連結」を保つ位置を捉える。
• $S = \{i_1 < \cdots < i_k\} \subseteq [n-1]$ に対して $\eta(S) = i_1! (i_2 - i_1)! \cdots (n - i_k)!$ を定義し、置換におけるブロックサイズを符号化する。
• $A_{ST} = \#\{w : \overline{S} \subseteq C(w), T \subseteq D(w)\}$ を定義し、$\overline{S} \cap T = \emptyset$ のとき $A_{ST} = \eta(\overline{S}) / \eta(\overline{T})$、それ以外のときは 0 であることを証明する。
• $q$-アナログ $A(q)_{ST}$, $\Gamma(q)_{ST}$, および $B(q)_{ST}$ を導入し、$q^{\mathrm{inv}(w)}$（逆転数）で重み付けられた置換を扱う。
• $\overline{S} \cap T = \emptyset$ のとき $A(q)_{ST} = q^{z(T)} \eta(\overline{S},q)/\eta(\overline{T},q)$ を証明し、$z(T)$ は $T \subseteq D(w)$ を満たす置換における最小逆転数を表す。
• 逆行列関係を確立する：$A(q)^{-1}_{ST} = (-1)^{\#S + \#T} A(1/q)_{ST}$ および $B(q)^{-1}$, $\Gamma(q)^{-1}$ についても同様の式を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接続集合 $C(w)$ はどのように定義され、降下集合 $D(w)$ と組み合わせ的にどのように関係するか？
• RQ2 統計量 $C(w)$ と $D(w)$ の間に双対性があるか。もしあるならば、行列関係にどのように符号化されるか？
• RQ3 $q$-アナログに拡張することで、置換における逆転数を追跡する双対性を拡張できるか？
• RQ4 $C(w)$ と $D(w)$ の正確な連合分布は何か。また、行列 $A(q)_{ST}$ にどのように符号化されるか？
• RQ5 $q$-アナログの連合分布行列の逆行列関係は何か？

主な発見

• 置換 $w \in \mathfrak{S}_n$ で $S \subseteq C(w)$ を満たすものの数は、ちょうど $\eta(S)$ に等しく、ここで $\eta(S)$ は $S$ によって定義されるブロックサイズの階乗の積である。
• 置換 $w \in \mathfrak{S}_n$ で $T \supseteq D(w)$ を満たすものの数は $n! / \eta(S)$ に等しく、$C$ と $D$ の間の逆双対性を示している。
• $A_{ST} = \#\{w : \overline{S} \subseteq C(w), T \subseteq D(w)\}$ に対して、$\overline{S} \cap T = \emptyset$ のとき $\eta(\overline{S}) / \eta(\overline{T})$、それ以外のときは 0 である。
• $\overline{S} \cap T = \emptyset$ のとき $q$-アナログ $A(q)_{ST}$ は $q^{z(T)} \eta(\overline{S},q)/\eta(\overline{T},q)$ に等しく、$z(T)$ は $T \subseteq D(w)$ を満たす置換における最小逆転数を表す。
• $q$-行列 $A(q)$ の逆行列は $A(q)^{-1}_{ST} = (-1)^{\#S + \#T} A(1/q)_{ST}$ を満たし、逆行列に対する関数方程式を確立する。
• $\Gamma(q)$ の逆行列は $\Gamma(q)^{-1}_{ST} = (-1)^{\#S + \#T} \Gamma(1/q)_{ST}$ を満たし、$q \to 1/q$ における対称性を示している。