[論文レビュー] The determinant bound for discrepancy is almost tight

Jiřı́ Matoušek|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2011

Mathematical Approximation and Integration参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、遺伝的不均衡に関する行列式下界がほとんどタイトであることを確立している。特に、多項式的に有界な集合系において、遺伝的不均衡は行列式下界から高々 $ O((\text{poly}(n))^{3/2} \text{polylog}(n)) $ の要因で逸脱する。この結果はバンサルの半定形計画法（SDP）アルゴリズムに依存し、行列式下界のタイトネスに関する長年の疑問を解決し、ホフマンとパルヴォルギの例のような最悪ケース構成ですら、このほぼ最適要因を上回ることはないことを示している。

ABSTRACT

In 1986 Lovasz, Spencer, and Vesztergombi proved a lower bound for the hereditary a discrepancy of a set system F in terms of determinants of square submatrices of the incidence matrix of F. As shown by an example of Hoffman, this bound can differ from herdisc(F) by a multiplicative factor of order almost log n, where n is the size of the ground set of F. We prove that it never differs by more than O((log n)3/2), assuming |F| bounded by a polynomial in n. We also prove that if such an F is the union of t systems F_1, . . ., F_t, each of hereditary discrepancy at most D, then herdisc(F) \leq O(t^(1/2)(log n)^(3/2) D). For t = 2, this almost answers a question of Sos. The proof is based on a recent algorithmic result of Bansal, which computes low-discrepancy colorings using semidefinite programming.

研究の動機と目的

• 行列式下界と真の遺伝的不均衡の間のギャップを閉じること。これは、最悪ケースの例では $ \frac{\text{polylog}(n)}{\text{polyloglog}(n)} $ まで差が生じることを既に知られていた。
• 行列式下界がほぼ最適であるかどうかを解明すること。特に、ホフマンとパルヴォルギによる反例により、$ \text{polylog}(n) $ のオフセットが生じうることが示されたが、その影響を評価する。
• 集合系の和集合の遺伝的不均衡が、その成分の最大遺伝的不均衡をどれだけ上回えるかを定量的に評価すること。
• ソスが提起した質問に答えること。すなわち、$ n $ や $ m $ などのパラメータと個々の不均衡を用いて、2つの集合系の和集合の遺伝的不均衡を評価する方法を提示すること。

提案手法

• 証明は、バンサルが最近得た結果に依存しており、半定形計画法（SDP）を用いた低不均衡彩色の計算手法を提供し、不均衡を構成的に評価する手段を提供する。
• 著者らは、インシデント行列の構造を分析し、最大の $ k \times k $ 部分行列の行列式を用いて行列式下界を適用し、$ \text{detlb}(\fF) $ を主要な量として定義する。
• 遺伝的不均衡 $ \text{herdisc}(\fF) $ に対する境界を、$ \text{detlb}(\fF) $ と関連付けることで導出し、$ \text{herdisc}(\fF) $ と $ \text{detlb}(\fF) $ の比が、多項式的に有界な $ |\fF| $ の下で高々 $ O(\text{polylog}(n) \times \text{poly}(m) \times \text{poly}(n)^{1/2}) $ であることを示している。
• 集合系 $ t $ 個の和集合について、各集合系の遺伝的不均衡が $ D $ 以下であると仮定すると、$ \text{herdisc}(\fF) \neq O(\text{polylog}(n) \times \text{poly}(m) \times \text{poly}(t)^{1/2} \times D) $ を示している。この証明には反復的分解と行列式境界の応用が用いられている。
• パルヴォルギの幾何的例にインspiredされた、制御された不均衡を持つ集合系の帰納的構成が行われ、それを組合せ的集合系に適応している。
• SDPの双対化と部分行列の行列式の詳細な分析により、最悪ケース構成でも不均衡比のタイトな上界が導出可能であることが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合系のサイズに合理的な仮定を置いた場合、遺伝的不均衡の行列式下界が $ n $ の多項対数的要因よりも大きく逸脱することはあり得るか？
• RQ2 行列式下界はほぼタイトであると見なせるのか、それとも、ある $ \fF $ に対して $ \text{herdisc}(\fF) $ と $ \text{detlb}(\fF) $ の間に超多項対数的ギャップが存在するのか？
• RQ3 各集合系の遺伝的不均衡が $ D $ である $ t $ 個の集合系の和集合について、$ \text{herdisc}(\fF) $ は $ D $、$ t $、$ n $、$ m $ の関数として評価可能か？それとも $ t $ とは独立に増大するのか？
• RQ4 ホフマンの例は、$ \frac{\text{polylog}(n)}{\text{polyloglog}(n)} $ のギャップを示しており、これは最悪ケースを表しているのか、それとも多項式的に有界な $ |\fF| $ の下でギャップがさらに大きくなる可能性があるのか？
• RQ5 ソスが提起した質問に答える。特に、$ t=2 $ の場合に、行列式下界を用いて集合系の和集合の不均衡をタイトに評価できるか？

主な発見

• 要素数 $ n $、集合数 $ m $ の任意の集合系 $ \fF $ について、$ \text{herdisc}(\fF) \neq O\bigl( \text{detlb}(\fF) \times \text{polylog}(n) \times \text{poly}(m)^{1/2} \bigr) $ が成り立つ。これは、行列式下界がほとんどタイトであることを示している。
• 集合系 $ \fF $ が $ t $ 個の集合系 $ \fF_1, \fF_2, \ldots, \fF_t $ の和集合であり、各 $ \fF_i $ の遺伝的不均衡が $ D $ 以下であるとすると、$ \text{herdisc}(\fF) $ は $ O\bigl( \text{polylog}(n) \times \text{poly}(m)^{1/2} \times \text{poly}(t)^{1/2} \times D \bigr) $ で抑えられる。
• この論文は、$ |\fF| $ が $ n $ の多項式で有界であると仮定すると、$ \text{herdisc}(\fF) $ と $ \text{detlb}(\fF) $ の間の最悪ギャップが高々 $ O((\text{poly}(n))^{3/2} \text{polylog}(n)) $ であることを示している。
• ソスが提起した、2つの集合系の和集合の不均衡を評価する問題は、ほぼ解決された。不均衡は $ n $ や $ m $ の多項対数的要因でしか増大せず、既知の極値例と同程度に抑えられることが示された。
• パルヴォルギの構成が、$ \text{herdisc}(\fF)/\text{detlb}(\fF) $ の比が $ \tilde{\theta}(\text{polylog}(n)) $ であることを示しており、これはほぼ最悪ケースの例であると確認された。
• バンサルのSDPに基づく彩色アルゴリズムに依存する証明手法により、行列式に基づく不均衡境界のタイトな解析が可能となり、アルゴリズム的不均衡手法が理論的解析において強力であることが示された。