[論文レビュー] The determinant of the Malliavin matrix and the determinant of the covariance matrix for multiple integrals

Ciprian A. Tudor|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2013

Random Matrices and Applications参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、同一のウィener混同空間内に属する複数ストリーニー積分のペアについて、マルヤヴィン行列の行列式と共分散行列の行列式の明示的な解析的関係を確立する。4次以下の混同空間では、2つのこのような確率変数は、連続確率密度関数をもつ、または比例関係にあり得る—これは、ベクトル値の複数積分の密度の存在に関する重要な未解決問題を解決する。

ABSTRACT

A well-known problem in Malliavin calculus concerns the relation between the determinant of the Malliavin matrix of a random vector and the determinant of its covariance matrix. We give an explicit relation between these two determinants for couples of random vectors of multiple integrals. In particular, if the multiple integrals are of the same order and this order is at most 4, we prove that two random variables in the same Wiener chaos either admit a joint density, either are proportional and that the result is not true for random variables in Wiener chaoses of different orders.

研究の動機と目的

• 複数確率積分におけるマルヤヴィン行列の行列式と共分散行列の行列式の関係に関する未解決問題を解消すること。
• 同一のウィーナー混同空間に属する複数積分のベクトルの連続確率密度関数の存在に関する必要十分条件を特定すること。
• 4次以下の混同空間では、2つの複数積分が連続密度関数をもつか、または比例関係にあり得ることを確立し、2次の場合に既知の結果を拡張すること。
• マルヤヴィン行列の行列式の明示的公式を、収縮作用素と共分散構造の観点から導出すること。

提案手法

• 複数ウィーナー＝イト積分から導かれる確率変数の平方和としてマルヤヴィン行列を表現する。
• 複数確率積分の積分公式を用いて、マルヤヴィン行列の行列式を展開する。
• 複数積分の核関数 f と g 間の、さまざまな次数の収縮作用素 (·⊗ᵣ·) を適用し、主要項を計算する。
• 特に n≤4 の場合に、detΛ について detC と反復収縮のノルムを含む明示的公式を導出する。
• エルミート多項式およびウィーナー混同分解の対称性と等長性の性質を活用する。
• 収縮項の消滅とその共分散行列の行列式との関係を検討することで、マルヤヴィン行列の行列式の消滅を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 E[detΛ] ≥ c·detC を満たすような普遍定数 c>0 が存在するか？
• RQ2 同一のウィーナー混同空間に属する複数積分のベクトルの分布は、絶対連続か、またはその成分が比例関係にあるか？
• RQ3 異なる次数の複数積分に対して、E[detΛ]=0 ならば detC=0 であるか？
• RQ4 マルヤヴィン行列の行列式における特定の収縮項の消滅が、複数積分のベクトルの連続密度関数の特徴づけに寄与するか？
• RQ5 4次以下の積分に関して、収縮作用素と共分散行列の観点から、detΛ の正確な代数的構造は何か？

主な発見

• 同じ次数 n≤4 の複数積分に対しては、共分散行列の行列式が非ゼロであることと、連続密度関数の存在が同値である。
• マルヤヴィン行列の行列式がゼロであれば、共分散行列の行列式もゼロでなければならない。これは、成分が比例関係にあることを示唆する。
• 3次の場合、detΛ = 9detC + 9×36×3[‖f⊗₁g‖² − ⟨f⊗₁g, g⊗₁f⟩] − 9×36×2[‖f⊗₂g‖² − ⟨f⊗₂g, g⊗₂f⟩] + R₃′ であり、detΛ=0 のとき detC=0 である。
• 4次の場合、detΛ = 16detC + 16×(4!)²[(C₃¹)²−1][‖f⊗₁g‖² − ⟨f⊗₁g, g⊗₁f⟩] − 16×(4!)²[(C₃¹)²−2][‖f⊗₃g‖² − ⟨f⊗₃g, g⊗₃f⟩] + R₄′ であり、detΛ=0 のとき detC=0 である。
• 5次以上の次数 n≥5 に対しては、最高次の収縮項（例：‖f⊗₄g‖² − ⟨f⊗₄g, g⊗₄f⟩）の消滅は、detC=0 を結論づけるために必要であるが、十分ではない。これは複雑なネストされた収縮が存在するためである。