[論文レビュー] The Devil's Staircase in the Frequency and Amplitude Locking of Nonlinear Oscillators with Continuous Periodic Forcing

Benjamin Lingnau, Kevin Shortiss+3 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2019

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation被引用数 1

ひとこと要約

本論文は、ハーモニックに変調された連続的駆動が、ホーフェル分岐付近の非線形オシレーターにデーモンの階段構造を誘発することを示しており、離散的円周写像で観察される複雑な共鳴固定構造を再現している。このメカニズムにより、複数の安定な周波数固定状態が可能となり、変調された光的インジェクションを用いた半導体レーザーでも実験的に確認されている。

ABSTRACT

The discrete circle map is the archetypical example of a driven periodic system, showing a complex resonance structure under a change of the forcing frequency known as the devil's staircase. Adler's equation can be seen as the direct continuous equivalent of the circle map, describing locking effects in periodic systems with continuous forcing. This type of locking produces a single fundamental resonance tongue without higher order resonances, and a devil's staircase is not observed. We show that, with harmonically modulated forcing, nonlinear oscillations close to a Hopf bifurcation generically reproduce the devil's staircase even in the continuous case. Experimental results on a semiconductor laser driven by a modulated optical signal show excellent agreement with our theoretical predictions. The locking appears as a modulation of the oscillation amplitude as well as the angular oscillation frequency. Our results show that by proper implementation of an external drive, additional regions of stable frequency locking can be introduced in systems which originally show only a single Adler-type resonance tongue.

研究の動機と目的

• 離散的円周写像で特徴づけられるデーモンの階段現象が、周期的駆動下の連続時間非線形オシレーターにおいても出現するかどうかを調査すること。
• 強制信号のハーモニック変調が、通常は1つのアーダー型共鳴舌しか示さない系において、高次共鳴および複雑な固定構造を生成するかどうかを特定すること。
• 連続的駆動と、デーモンの階段に類似したフラクタル的固定構造の出現を結びつける理論的枠組みを確立すること。
• ハーモニックに変調された光的信号で駆動される半導体レーザーを用いた実験的実装により、理論的予測を検証すること。

提案手法

• ホーフェル分岐付近の非線形オシレーターに対する連続的周期的駆動とハーモニック変調を含む理論的解析。
• 振幅変調された駆動を組み込んだ修正アーダー型方程式の導出と解析により、固定ダイナミクスをモデル化すること。
• パrameter空間全域における周波数および振幅固定挙動を探索するための数値シミュレーションの実施。
• 位相固定状態近似を用いて、連続系に円周写像形式を適用すること。
• 正弦波で変調された光的インジェクション信号を用いた半導体レーザーを用いた実験的実装により、固定領域を調査すること。
• 理論的予測と実験的固定領域を比較し、デーモンの階段の出現を確認すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的円周写像に特徴づけられるデーモンの階段構造が、周期的駆動下の連続的非線形オシレーターでも観察可能か？
• RQ2 強制信号のハーモニック変調が、通常は1つの共鳴舌しか示さない系において、高次共鳴およびフラクタル的固定構造を導入するか？
• RQ3 このような複雑な固定構造が存在する状況下で、振幅および角周波数はどのように振る舞うか？
• RQ4 修正アーダー方程式に基づく理論的モデルが、実世界の系で観察される固定挙動をどの程度正確に予測できるか？
• RQ5 半導体レーザーのような実験的系が、適切な駆動条件のもとで予測されたデーモンの階段を再現できるか？

主な発見

• ハーモニックに変調された連続的駆動が、ホーフェル分岐付近の非線形オシレーターにデーモンの階段を誘発し、離散的円周写像と類似した複雑な共鳴構造を示している。
• 系は複数の安定な周波数固定状態を示し、振幅および角周波数が強制に従って変調されており、高次共鳴の存在が確認された。
• 修正アーダー方程式に基づく理論的予測が、パrameter空間における観察された固定領域を正確に記述している。
• 変調された光的インジェクションを受ける半導体レーザーからの実験結果は、理論的モデルおよび数値シミュレーションと良好に一致している。
• デーモンの階段の出現により、元来1つのアーダー型共鳴舌しか示さない系に、追加の安定固定領域が導入可能になった。