[論文レビュー] The Dieudonné modules and Ekedahl-Oort types of Jacobians of hyperelliptic curves in odd characteristic

Sanath K. Devalapurkar, John Halliday|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、奇数の標数の有限体上の超楕円曲線のヤコビアンのディュドネー加群およびエーケルダール＝オールポート型を、de Rhamコホロロジー上のフロベニウス作用およびベーシュヴィング作用を明示的に決定することによって計算している。Magmaを用いた計算により、標数 $p$ の小素数において、$p^8$ 階の群スキーム $[1,1,2,3]$ および $p^{10}$ 階の群スキーム $[1,2,2,3,4]$ がそれぞれ genus 4 および genus 5 の超楕円曲線の $J[p]$ として実現されることを確認し、未解決の問題を解決した。

ABSTRACT

Given a principally polarized abelian variety $A$ of dimension $g$ over an algebraically closed field $k$ of characteristic $p$, the $p$ torsion $A[p]$ is a finite flat $p$-torsion group scheme of rank $p^{2g}$. There are exactly $2^g$ possible group schemes that can occur as some such $A[p]$. In this paper, we study which group schemes can occur as $J[p]$, where $J$ is the Jacobian of a hyperelliptic curve defined over $\mathbb{F}_p$. We do this by computing explicit formulae for the action of Frobenius and its dual on the de Rham cohomology of a hyperelliptic curve with respect to a given basis. A theorem of Oda's in [Oda69] allows us to relate these actions to the $p$-torsion structure of the Jacobian. Using these formulae and the computer algebra system Magma, we affirmatively resolve questions of Glass and Pries in [Cor05] on whether certain group schemes of rank $p^8$ and $p^{10}$ can occur as $J[p]$ of a hyperelliptic curve of genus $4$ and $5$ respectively.

研究の動機と目的

• 奇数標数の $\mathbb{F}_p$ 上の超楕円曲線のヤコビアン $J[p]$ として現れる $p$- torsion 群スキームがどのようなものかを特定すること。
• ガスとプリーズが提起した、genus 4 および 5 に対して $p^8$ および $p^{10}$ 階の特定の群スキームが $J[p]$ として実現可能かどうかという未解決問題を解決すること。
• フロベニウス作用およびベーシュヴィング作用の de Rham コホロロジーへの作用を計算し、ヤコビアンのディュドネー加群を決定すること。
• フロベニウスおよびベーシュヴィング作用の作用行列から導かれる標準型を用いて、ヤコビアンのエーケルダール＝オールポート型を特徴付けること。
• 計算代数を用いて、小素数における指定された群スキームを実現する具体的な超楕円曲線を提供すること。

提案手法

• Odaの定理を用いて、ヤコビアンのディュドネー加群を、フロベニウスおよびベーシュヴィング作用を伴う de Rham コホロロジーと関連付ける。
• 超楕円曲線の de Rham コホロロジーの基底上で、フロベニウスおよびベーシュヴィング作用の行列を明示的に計算する。
• Cartier-Dieudonné環の構造を用いて、ディュドネー加群を $k[F,V]/(FV=VF=0, Fx=x^pF, Vx^p = xV)$ 上の加群としてモデル化する。
• 作用行列から得られる標準型を用いて、ヤコビアンのエーケルダール＝オールポート型を決定する。
• Magma計算代数システムを用いて、与えられた次数および素数に対するすべての滑らかな超楕円曲線を体系的にテストする計算を実装する。
• 既知の $p$- torsion 群スキームの分類と標準型を照合することで、得られた群スキーム構造を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準型 $[1,1,2,3]$ に対応する $p^8$ 階の群スキームが、$\mathbb{F}_p$ 上の genus 4 の超楕円曲線の $J[p]$ として現れる可能性はあるか？
• RQ2 標準型 $[1,2,2,3,4]$ に対応する $p^{10}$ 階の群スキームが、$\mathbb{F}_p$ 上の genus 5 の超楕円曲線の $J[p]$ として現れる可能性はあるか？
• RQ3 奇数標数における超楕円曲線ヤコビアンから生じるエーケルダール＝オールポート型はどのようなものがあり、小素数および genus にわたってどのように分布するか？
• RQ4 どの素数 $p$ および genus $g$ に対して $p$-階が消え、その場合の $a$-数の構造はどのようなものか？
• RQ5 $g=4$ および $g=5$ に対して、群スキーム $G \oplus (\mathbb{Z}/p \oplus \mu_p)$ および $G \oplus (\mathbb{Z}/p \oplus \mu_p)^2$ が $J[p]$ として実現される具体的な超楕円曲線は存在するか？

主な発見

• genus 4 および $p=3$ の場合、曲線 $y^2 = 2x^9 + x^8 + x$ が標準型 $[1,1,2,3]$ を実現し、$p^8$ 階の群スキームが $J[p]$ として存在することを確認した。
• genus 4 および $p=5$ の場合、曲線 $y^2 = x^9 + x^8 + x$ も標準型 $[1,1,2,3]$ を実現し、$\mathbb{F}_5$ 上で $p^8$ 階の群スキームが存在することを確認した。
• genus 5 および $p=3$ の場合、曲線 $y^2 = 2x^{11} + x^9 + x^7 + x$ が標準型 $[1,2,2,3,4]$ を実現し、$p^{10}$ 階の群スキームが $J[p]$ として存在することを確認した。
• genus 5 および $p=5$ の場合、曲線 $y^2 = 3x^{11} + 2x^{10} + 4x^9 + 2x^8 + x^7 + x$ が標準型 $[1,2,2,3,4]$ を実現し、$\mathbb{F}_5$ 上で $p^{10}$ 階の群スキームが存在することを確認した。
• アルゴリズムは、de Rham コホロロジー上のフロベニウスおよびベーシュヴィング作用の作用から標準型を計算し、超楕円ヤコビアンのエーケルダール＝オールポート型の分類を可能にする。
• higher genus や larger primes に対しては、超楕円曲線における最終型の分布は不完全であり、genus 9 および $p=3$ では16種類の可能な型のうち11種類しか実現されていない。