[論文レビュー] The differentiation of hypoelliptic diffusion semigroups

Marc Arnaudon, Anton Thalmaier|SPIRE - Sciences Po Institutional REpository|Apr 13, 2010

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Malliavin微分積分法と局所 martingale 手法を用いて、擬微分作用素の拡散半群に対する確率的積分 by 部分公式を構築し、テスト関数の微分を必要としない半群および調和関数の導出公式を可能にする。主な貢献は、Hörmander 条件による擬微分作用素条件を満たす場合に、半群の微分を微分流れ、Malliavin 共分散行列およびその逆行列で表す表現を提供することにある。

ABSTRACT

Basic derivative formulas are presented for hypoelliptic heat semigroups and harmonic functions extending earlier work in the elliptic case. Emphasis is placed on developing integration by parts formulas at the level of local martingales. Combined with the optional sampling theorem, this turns out to be an efficient way of dealing with boundary conditions, as well as with finite lifetime of the underlying diffusion. Our formulas require hypoellipticity of the diffusion in the sense of Malliavin calculus (integrability of the inverse Malliavin covariance) and are formulated in terms of the derivative flow, the Malliavin covariance and its inverse. Finally some extensions to the nonlinear setting of harmonic mappings are discussed.

研究の動機と目的

• テスト関数の微分を必要としない、擬微分作用素の拡散半群に対する導出公式の構築。
• 局所 martingale と Malliavin 微分積分法を用いて、楕円的状況から擬微分作用素的状況への積分 by 部分手法の拡張。
• オプションサンプリングと確率的制御手法を用いて、境界条件および有限寿命の拡散過程を扱う。
• 特に擬微分作用素的状況において、非ユークリッド的ターゲットを持つ調和写像への一般化。
• Hörmander 条件の下で、確率的表現を用いて導出を保証し、滑らかな遷移密度を確保する。

提案手法

• 局所 martingale のレベルにおける積分 by 部分を用いて、半群および調和関数の導出公式を導出する。
• 境界条件および有限寿命の拡散過程の取り扱いに、オプションサンプリング定理を適用する。
• 微分流れ $X_{t\bullet}$、Malliavin 共分散行列、およびその逆行列を用いて、半群の微分を表現する。
• 微分流れとブラウン運動に関する確率積分を用いて構成された局所 martingale $n_s$ を導入する。
• 摂動解析のための局所 martingale を生成するための過程 $a_s = (X_{s\bullet}^{-1}A)_x^* \mathbf{1}_{\{s \leq \tau\}}$ を用いる。
• 非線形状況では、$\mathbb{E}\left[\left(\int_0^\sigma \Theta_{0,s}^{-1} \nabla \Theta_{0,s} \, dY_s\right) C^{-1}_\sigma(x) v\right]$ を含む表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成子が楕円的でない擬微分作用素の拡散過程において、積分 by 部分公式をどのように適応できるか。
• RQ2 テスト関数の微分を含まない半群の導出公式をどのように表現できるか。
• RQ3 Malliavin 共分散行列およびその逆行列が、擬微分作用素的条件下での微分表現において果たす役割は何か。
• RQ4 境界条件および有限寿命の拡散過程を、確率的積分 by 部分フレームワーク内でどのように取り扱えるか。
• RQ5 非ユークリッド的ターゲットを持つ調和写像に対し、擬微分作用素的条件下で導出公式を拡張することは可能か。

主な発見

• 本稿では、テスト関数 $f$ の微分に依存しない、半群 $P_t f$ の導出公式を確立した。この公式は、微分流れ、Malliavin 共分散行列、およびその逆行列にのみ依存する。
• Hörmander 条件を満たす場合、半群は強く Feller 性質を有し、滑らかな遷移密度を有するため、導出公式の正則性が保証される。
• 局所 martingale のレベルにおける積分 by 部分公式により、オプションサンプリングを用いて境界条件および有限寿命の取り扱いが可能である。
• 調和関数に対しては、境界データの微分を含まずに、確率積分と局所 martingale を用いて微分 $du$ を表現できる。
• 非ユークリッド的ターゲットを伴う非線形状況では、$\int_0^\sigma \Theta_{0,s}^{-1} \nabla \Theta_{0,s} \, dY_s$ を含む追加項が現れ、現時点では除去できない。
• 本手法はブラウン運動の摂動と測度変更に依存しており、時間変更や回転などの代替的手法も有用である可能性が示唆されているが、現時点では完全に活用されていない。