[論文レビュー] The dimensions of Hausdorff and Mendes France. A comparative study

R. O. Hansen, M. Piacquadio|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2000

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ハウスドルフ次元を有する自己相似フラクタル曲線と、メンディス・フランス次元を有する非有界かつ局所リーマン可積分な曲線との間の幾何学的構成を提示し、厳密な自己相似性の下では両次元が一致することを示している。この手法では、収縮変換と拡大変換を用いて双対的な曲線を生成し、自己相似性が正確に成立する場合、非有界曲線のメンディス・フランス次元がそのフラクタル対応物のハウスドルフ次元と等しくなることを明らかにしている。

ABSTRACT

This paper contains a comparative study of two families of simple curves drawn in the plane. On the one hand, we have the fractal curves on the unit interval, with self-similar structure, which have associated a Hausdorff dimension. On the other hand, we have the opposite: a class of locally rectifiable unbounded curves, which have another "fractional dimension" defined by M. Mendes France. We propose a geometrical constructive process that will allow us to obtain - as the limit of a sequence of polygonal curves - one curve of the first family, by contractive transformations; and another of the second family, by expansive transformations. Thanks to this process of linking curves from both families, we are able to compare their dimensions - our aim in this work -, and to obtain interesting results such as the equality of the latter in the case of strict self-similarity.

研究の動機と目的

• 自己相似フラクタル曲線のハウスドルフ次元と、非有界かつ局所リーマン可積分な曲線のメンディス・フランス次元を比較すること。
• 同じ反復的変換スキームから両タイプの曲線を生成する幾何学的構成的手法を開発すること。
• 厳密な自己相似性の下で、二つの分数次元が等しくなるかどうかを調査すること。
• 非一様自己相似構成における拡大比の選択が、非有界曲線のメンディス・フランス次元に与える影響を調査すること。
• フラクタル的（局所的に不規則）と反フラクタル的（局所的に滑らか）な曲線の幾何的性質の対比を、統一的な次元枠組みの中で明確にすること。

提案手法

• N個の収縮変換（比ai < 1）を用いてフラクタル曲線Fを構成し、閉集合条件を満たすことで交差を回避すること。
• 同じ多角形近似に逆変換（1/ai倍のスケーリング）を適用することで、双対的な非有界曲線Γを生成すること。
• 成長する弧ΓLのε-ミンコフスキーのソーサージュを用いて、メンディス・フランス次元を lim inf_{L→∞} log A(ΓL(ε)) / log CL として定義すること。
• 曲線の空間的スケールの代理として、凸包の境界長さCLを用いること。
• 方程式 ∑_{i=1}^N a_i^{dH} = 1 を用いてハウスドルフ次元dHを導出すること。
• ソーサージュ面積A(ΓL(ε))とハル周囲長CLの漸近的成長を比較し、dimMF(Γ)を計算するとともに、dH(F)と比較すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己相似パターンの拡大反復によって生成された非有界曲線のメンディス・フランス次元が、対応する有界フラクタル曲線のハウスドルフ次元に等しいか。
• RQ2 拡大比（ai）の選択が、得られる非有界曲線のメンディス・フランス次元にどのように影響するか。
• RQ3 生成多角形近似の幾何的構造と、非有界曲線の次元との関係は何か。
• RQ4 一様な構成プロセスによって、フラクタル的および反フラクタル的曲線を直接的に次元比較可能に生成できるか。
• RQ5 非一様な場合に、メンディス・フランス曲線の次元が最小の拡大比（a1）に依存するのに対し、ハウスドルフ次元が全収縮比の集合に依存する理由は何か。

主な発見

• 厳密な自己相似性の下で、すべての収縮比が等しい（ai = 1/n）場合、ハウスドルフ次元dH(F) = log N / log n は、非有界曲線のメンディス・フランス次元 dimMF(Γ) と等しくなる。
• 非一様自己相似構成では、非有界曲線のメンディス・フランス次元は最小の拡大比a1に依存し、i > 1 に対して dimMF(Γa1) < dimMF(Γai) が成り立つ。
• メンディス・フランス曲線の次元は、1 + log(∑aj) / log(1/√(a1a2)) で下限で抑えられ、収縮パラメータの比に非自明な依存性を示す。
• 証明により、dimMF(Γa1) < dH(F) であることが示され、最小の拡大比がハウスドルフ次元より厳密に小さい次元をもたらすことが判明した。
• 本研究は、ハウスドルフ次元が全収縮比の集合に対して不変である一方、メンディス・フランス次元は極値の拡大比、特にa1に敏感であるという双対性を明らかにした。
• 著者らは、比較が最も意味を持ち、等価性が得られるのは対称的かつ厳密な自己相似の場合に限られ、両次元の本質的差異を強調している。