[論文レビュー] The Dirac operator on hypersurfaces

Andrzej Trautman|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 1998

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 6被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、ピン群のねじれ随伴表現を用いて、非可換リーマン多様体、特にユークリッド空間内の超曲面に対して、修正されたディラック作用素を構築する。この作用素のシュレーディンガー変換を導出し、球面および実射影空間上のディラック作用素の正確な固有値および固有関数を計算する。その結果、奇数次元の射影空間上では固有値が非対称であることが明らかになる。

ABSTRACT

Odd-dimensional Riemannian spaces that are non-orientable, but have a pin structure, require the consideration of the twisted adjoint representation of the corresponding pin group. It is shown here how the Dirac operator should be modified, also on even-dimensional spaces, to make it equivariant with respect to the action of that group when the twisted adjoint representation is used in the definition of the pin structure. An explicit description of a pin structure on a hypersurface, defined by its immersion in a Euclidean space, is used to derive a "Schroedinger" transform of the Dirac operator in that case. This is then applied to obtain - in a simple manner - the spectrum and eigenfunctions of the Dirac operator on spheres and real projective spaces.

研究の動機と目的

• ピン群のねじれ随伴表現を用いることで、非可換多様体へのディラック作用素の理論を拡張し、群作用に関して不変性を保つように修正すること。
• ユークリッド空間に埋め込まれた超曲面上に、標準的なピン構造を構成し、関連するスピノル bundle が自明であることを示すこと。
• そのような超曲面上で、修正されたディラック作用素のシュレーディンガー変換を導出し、スペクトル解析に応用すること。
• 導出した変換を用いて、球面および実射影空間上のディラック作用素の固有値および固有関数を計算すること。
• 次元が奇数のとき、ねじれ随伴表現の使用に起因して、実射影空間上での固有値が非対称であることを示すこと。

提案手法

• ピン群 $\mathrm{Pin}_{k,l}$ のねじれ随伴表現を用いて、特に $k+l$ が奇数のとき、群作用に関して不変性を持つように修正されたディラック作用素を定義する。
• 超曲面を $\mathbb{R}^{m+1}$ に埋め込むことにより、その上に標準的なピン構造を構成し、関連するディラックスピノル bundle が自明であることを示す。
• 埋め込みに起因する幾何学的構造とスピノル計算を用いて、そのような超曲面上での修正ディラック作用素のシュレーディンガー変換を導出する。
• シュレーディンガー変換を $\mathbb{R}^{m+1}$ 上の調和多項式に適用し、球面に制限することで固有関数を得る。
• 球面 $S^m$ 上のディラック作用素の固有関数は、次数 $l$ または $l+1$ の調和で $S$-値多項式の制限として得られることに依拠する。
• 球面 $S^m$ から実射影空間 $\mathbb{R}P^m$ への被覆写像を用いて、球面上の固有関数と射影空間上の固有関数を関係づけ、反転写像における偶奇対称性に注目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数次元多様体において、ねじれ随伴表現を用いる場合、ピン群作用に関して不変性を保つようにディラック作用素をどのように修正すべきか？
• RQ2 ユークリッド空間に埋め込まれた超曲面上のピン構造の構造は何か？ また、それはスピノル bundle にどのように影響するか？
• RQ3 そのような超曲面上で、修正ディラック作用素のシュレーディンガー変換を明示的に導出できるか？
• RQ4 ねじれ随伴表現を用いる場合、球面上のディラック作用素の固有値および固有関数の構造は何か？
• RQ5 実射影空間上での固有値は、球面と比べてどのように異なるか？ 特に、対称性および重複度の観点から。

主な発見

• $m=2\nu$（偶数）のとき、球面 $S^m$ 上のディラック作用素の固有値は $\{\pm(l + \frac{1}{2}m) \mid l=0,1,\dots\}$ であり、各固有値 $\lambda = \pm(l + \frac{1}{2}m)$ の重複度は $2^\nu \binom{m+l-1}{l}$ である。
• $m=2\nu+1$（奇数）のとき、球面 $S^m$ 上のパウリ作用素の固有値は $\{\pm(l + \frac{1}{2}m) \mid l=0,1,\dots\}$ であり、同じ重複度の公式が成り立つ。
• 球面 $S^m$ 上の固有関数は、正の固有値に対応する $S$-値調和多項式（次数 $l$）または負の固有値に対応する $S$-値調和多項式（次数 $l+1$）の制限として得られる。ここで $S$ は $2^\nu$ 次元のスピノル空間である。
• $m=2\nu$ のとき、実射影空間 $\mathbb{R}P^m$ 上の固有値は $\{-\frac{1}{2} \pm (2l + \frac{1}{2}m + \frac{1}{2}) \mid l=0,1,\dots\}$ であり、非可換構造に起因して非対称性が現れる。
• $\mathbb{R}P^m$ 上の固有値 $\lambda$ の重複度は $2^\nu \binom{|\lambda| + \frac{1}{2}m - 1}{|\lambda| - \frac{1}{2}m}$ であり、非対称固有値が確認される。
• $\mathbb{R}P^m$ 上のすべてのスピノル場は、被覆写像 $S^m \to \mathbb{R}P^m$ の反転対称性に起因して、$S^m$ 上の偶数スピノル場から生じる。