[論文レビュー] The Dirichlet elliptic problem involving regional fractional Laplacian

Huyuan Chen|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有界な $C^2$ 領域 $Ω \subset \mathbb{R}^N$ における領域分数ラプラシアン $(-\Delta)^\alpha_\Omega$ を含むディリクレ問題に対して、弱解および非常に弱解の存在および一意性を確立する。$α \in (1/2, 1)$ であるとき、$f \in L^2(\Omega)$、$f \in L^1(\Omega, \rho^\beta dx)$、$f \in \mathcal{M}(\Omega, \rho^\beta)$ のデータに対して解が存在し、$ρ(x) = \text{dist}(x, \partial\Omega)$ および $β = 2\alpha - 1$ のもとで、$L^1$ および $H^\alpha_0$ の鋭い推定が得られる。

ABSTRACT

In this paper, we consider the solutions for elliptic equations involving regional fractional Laplacian \begin{equation}\label{0} \arraycolsep=1pt \begin{array}{lll} \displaystyle (-Δ)^α_Ωu=f \qquad & { m in}\quad Ω,\\[2mm] \phantom{ (-Δ)^α} \displaystyle u=g\quad & { m on}\quad \partial Ω, \end{array} \end{equation} where $Ω$ is a bounded open domain in $\mathbb{R}^N$ ($N\ge 2$) with $C^2$ boundary $\partialΩ$, $α\in(\frac12,1)$ and the operator $(-Δ)^α_Ω$ denotes the regional fractional Laplacian. We prove that when $g\equiv0$, problem ( ef{0}) admits a unique weak solution in the cases that $f\in L^2(Ω)$, $f\in L^1(Ω, ρ^βdx)$ and $f\in \mathcal{M}(Ω,ρ^β)$, here $ρ(x)={ m dist}(x,\partialΩ)$, $β=2α-1$ and $\mathcal{M}(Ω,ρ^β)$ is a space of all Radon measures $ν$ satisfying $\int_Ωρ^βd|ν|

研究の動機と目的

• 領域分数ラプラシアンのディリクレ問題に対して、境界値がゼロである弱解の存在および一意性を確立すること。
• 解の可解性フレームワークを、$L^1(\Omega, \rho^\beta dx)$ のデータおよび $\mathcal{M}(\Omega, \rho^\beta)$ のレドン測度に拡張すること、ここで $β = 2\alpha - 1$ である。
• 一般の境界値 $g \in C^2(\partial\Omega)$ を持つ古典解に対して、部分積分の公式を導出すること。
• 非常に弱解および境界項のための適切な試行関数空間 $\mathbb{X}_\alpha$ および $\mathbb{D}_\beta$ を特定すること。

提案手法

• 領域 $\Omega$ 内で $x$ における特異点を除いた、切り詰めた特異積分の極限として、領域分数ラプラシアン $(-\Delta)^\alpha_\Omega$ を定義する。
• ガリャルド型ノルムおよび内積を備えたヒルベルト空間 $H^\alpha_0(\Omega)$ を用いて、変分的定式化により弱解を定義する。
• $\|(-\Delta)^\alpha_\Omega \xi\|_{L^\infty(\Omega)} < \infty$ を満たす $\partial\Omega$ で消える連続関数の空間 $\mathbb{X}_\alpha$ および測度データのための $\mathcal{M}(\Omega, \rho^\beta)$ を導入する。
• 双対性による非常に弱解の定義：すべての $\xi \in \mathbb{X}_\alpha$ に対して $\int_\Omega u (-\Delta)^\alpha_\Omega \xi \, dx = \int_\Omega \xi \, df$ が成り立つこと。
• ドゥンフォード＝ペティスの定理を用いて、近似列から $L^1(\Omega)$ 内の弱収束を抽出する。
• 関数 $u,v \in \mathbb{D}_\beta$ に対して、部分積分の公式 $\int_\Omega u (-\Delta)^\alpha_\Omega v \, dx = \int_\Omega v (-\Delta)^\alpha_\Omega u \, dx + \int_{\partial\Omega} v \frac{\partial^\beta u}{\partial \vec{n}^\beta} d\omega - \int_{\partial\Omega} u \frac{\partial^\beta v}{\partial \vec{n}^\beta} d\omega$ を適用する。
• 境界データ $g$ の調和拡張 $G$ を構成し、解を $u_g = u_0 + G$ に分解する。$G$ の正則性および重み付き $L^\infty$ ノルムでの収束を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $f$ がどのような条件下で、領域分数ラプラシアンのディリクレ問題が $H^\alpha_0(\Omega)$ 内に一意な弱解をもつか。
• RQ2 解の可解性フレームワークを $f \in L^1(\Omega, \rho^\beta dx)$ および $f \in \mathcal{M}(\Omega, \rho^\beta)$ に拡張できるか。ここで $β = 2\alpha - 1$ である。
• RQ3 測度である $f$ の場合に、非常に弱解のための適切な試行関数空間は何か。
• RQ4 非ゼロ境界値を持つ古典解に対して、部分積分の公式をどのように導出できるか。
• RQ5 $f$ および $g$ に対して正則性仮定が成り立つとき、非同次問題の解 $u_{f,g}$ は空間 $\mathbb{D}_\beta$ に属するか。

主な発見

• $f \in L^2(\Omega)$ のとき、問題は一意な弱解 $u_f \in H^\alpha_0(\Omega)$ を持ち、$\|u_f\|_{H^\alpha_0(\Omega)} \leq c_1 \|f\|_{L^2(\Omega)}$ を満たす。
• $f \in \mathcal{M}(\Omega, \rho^\beta)$ のとき、問題は一意な非常に弱解 $u_f \in L^1(\Omega)$ を持ち、$\|u_f\|_{L^1(\Omega)} \leq c_2 \|f\|_{\mathcal{M}(\Omega, \rho^\beta)}$ を満たす。
• 解列 $\{u_n\}$ は $L^1(\Omega)$ 内で一様有界かつ一様可積分であり、ドゥンフォード＝ペティスの定理により弱コンパクト性が保証される。
• $u,v \in \mathbb{D}_\beta$ のとき、部分積分の公式 $\int_\Omega u (-\Delta)^\alpha_\Omega v \, dx = \int_\Omega v (-\Delta)^\alpha_\Omega u \, dx + \int_{\partial\Omega} v \frac{\partial^\beta u}{\partial \vec{n}^\beta} d\omega - \int_{\partial\Omega} u \frac{\partial^\beta v}{\partial \vec{n}^\beta} d\omega$ が成り立つ。
• $f \in C^2(\Omega) \cap C(\bar{\Omega})$ および $g \in C^2(\partial\Omega)$ のとき、古典解はすべての $v \in \mathbb{X}_\alpha \cap \mathbb{D}_\beta$ に対して $\int_\Omega u (-\Delta)^\alpha_\Omega v \, dx = \int_\Omega f v \, dx + \int_{\partial\Omega} g \frac{\partial^\beta v}{\partial \vec{n}^\beta} d\omega$ を満たす。
• $g$ を $\bar{\Omega}$ に拡張する関数 $G$ は、$|(-\Delta)^\alpha_\Omega G(x)| \leq c_{55} \rho(x)^{-\beta}$ を満たし、重み付き $L^\infty$ ノルムでの制御が可能である。