[論文レビュー] The Dirichlet problem for second order parabolic operators in divergence form

Pascal Auscher, Moritz Egert+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 25被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、上半空間における実数値で有界かつ可測、一様強楕円的で非対称な係数をもつ2階の放物型作用素（発散型）に対して、放物的測度のA∞性を確立する。平方関数推定と非接線的 maximal 関数の制御を用いて、放物的測度が表面測度に関して絶対連続であることを証明し、ドーリングの古典的結果を放物的設定に一般化するとともに、楕円的ケースに対しても簡略化された証明を提供する。

ABSTRACT

We study parabolic operators H = $\\partial$t -- div $\\lambda$,x A(x, t)$\ abla$ $\\lambda$,x in the parabolic upper half space R n+2 + = {($\\lambda$, x, t) : $\\lambda$ > 0}. We assume that the coefficients are real, bounded, measurable, uniformly elliptic, but not necessarily symmetric. We prove that the associated parabolic measure is absolutely continuous with respect to the surface measure on R n+1 in the sense defined by A$\\infty$(dx dt). Our argument also gives a simplified proof of the corresponding result for elliptic measure.

研究の動機と目的

• 時間に依存する非対称係数をもつ2階放物型作用素に対して、放物的測度のA∞性を確立すること。
• 調和測度に関するドーリングの古典的結果を放物的設定に拡張すること。
• 同一の枠組みを用いて、楕円的測度のA∞性に対する簡略化された証明を提供すること。
• 非接線的 maximal 関数の制御を用いて、LqデータによるDirichlet問題を解くこと。

提案手法

• 先行研究で開発された時間に依存する放物型作用素に対する平方関数推定と非接線的 maximal 関数推定を用いる。
• 文献[9]の手法に従い、カルレソン測度推定への還元を適用する。
• dyadic立方体と放物的拡大を用いて、解をdyadic周波数および空間的スケールのブロックに分解する。
• partition of unityとdyadic截断を用いて問題を局所化し、誤差項を制御する。
• 熱核およびその導関数の点ごとの評価を、ポアソン核およびその近似を用いて行う。
• 部分積分とコーシー＝シュワルツ/ヤングの不等式を用いて、エネルギー型推定における誤差項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 発散型で非対称かつ時間に依存する放物型作用素に付随する放物的測度が、表面測度に関してA∞条件を満たすか。
• RQ2 非接線的 maximal 関数の制御を用いて、このような作用素のDirichlet問題がLqデータで解けるか。
• RQ3 放物的問題のポアソン核が、あるp > 1に対してLpで逆Hölder性を満たすか。
• RQ4 楕円的理論で用いられる座標変換技術に依存せずに、放物的測度のA∞性を確立できるか。
• RQ5 証明手法は、対称な場合の既知の楕円的測度の結果を簡略化するか。

主な発見

• 放物的測度は表面測度dx dtに関して絶対連続であり、Radon-Nikodym導関数（ポアソン核）は、あるp ∈ (1, ∞)に対してスケール不変な逆Hölder不等式をLpで満たす。
• qがpのHölder共役であるLqデータに対するDirichlet問題は、非接線的 maximal 関数の制御のもとで解ける。
• 証明により、実数値で有界かつ可測、一様強楕円的で非対称な係数をもつ放物的測度のA∞性が確立され、従来の結果が非対称な場合に拡張された。
• この手法により、楕円的測度のA∞性に対する簡略化された直接的証明が得られ、[14]などの先行研究で用いられた座標変換技術を回避できる。
• 主要な推定は平方関数の制御とカルレソン測度推定に依拠しており、誤差項はdyadic分解と点ごとのカーネル評価により一様に有界である。
• 結果は境界がRn+1である上半空間Rn+2+で成り立ち、係数は空間変数と時間変数の両方に依存する。