[論文レビュー] The Dirichlet problem for singular fully nonlinear operators

Isabeau Birindelli, F. Demengel|ArXiv.org|Sep 21, 2006

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 12被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、非同次項および非ゼロ境界値を伴う特異な完全非線形作用素に対するディリクレ問題について、存在性、最大値原理、および比較原理を確立する。比較原理が成り立つのは、$-h(x,t)/t^\alpha+1$ が $t$ に関して非減少であるときであり、この条件が成り立たない場合には反例を提示する。これにより、符号が変化する境界データおよび一般の $h$-項を伴う作用素に対し、粘性解の技法を用いて先行研究を拡張する。

ABSTRACT

In this paper we prove existence of (viscosity) solutions of Dirichlet problems concerning fully nonlinear elliptic operator, which are either degenerate or singular when the gradient of the solution is zero. For this class of operators it is possible to extend the concept of eigenvalue, this paper concerns the cases when the inf of the principal eigenvalues is positive i.e. when both the maximum and the minimum principle holds.

研究の動機と目的

• 非ゼロ境界条件および非同次項を伴う特異な完全非線形作用素に対する最大値原理および比較原理を拡張すること。
• 比較原理の有効性を保証する $h(x,u)$ に関する条件を同定すること。
• 特定の正則性および減衰条件を満たす $h(x,u) = h_1(x,u) - h_2(x,u)$ の下で、ディリクレ問題に対する粘性解の存在を証明すること。
• 反例を構成し、$h(x,t)/t^{\alpha+1}$ が非増加である場合に比較原理が成立しないことを示し、条件の鋭さを示すこと。

提案手法

• 完全非線形偏微分方程式の粘性解理論を用い、特に局所的比較テストに依存する。
• 作用素 $F$ に構造的条件 (H1)–(H5) を課し、$p$ に関して同次的度数 $\alpha$ および重み $|p|^\alpha$ を用いた一様楕円性を含む。
• $h(x,\cdot)$ が非増加であり、$h(x,0) = 0$ であると仮定して最大値原理を適用する。
• $t \mapsto -h(x,t)/t^{\alpha+1}$ が $\mathbb{R}^+$ 上で非減少であるとき、摂動およびバリア法を用いて比較原理を確立する。
• 反例を、逐次的な下解および上解の列を用いて構成し、単調性条件が成り立たない場合の非一意性を示す。
• Perronの方法および近似を用いて解の存在を証明する。$h_i(\cdot,t) \in L^\infty$、$h_i(\cdot,0) = 0$、および $\lim_{t \to \infty} h_2(x,t)/t^{\alpha+1} = 0$ を仮定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ゼロ境界値を伴う特異な完全非線形ディリクレ問題において、$h(x,u)$ にどのような条件が課されれば比較原理が成り立つか。
• RQ2 非同次項および符号が変化するデータを伴う作用素に対し、最大値原理を拡張できるか。
• RQ3 $h(x,u)$ に関する鋭い条件は何か、それが粘性解の一意性を保証するか。
• RQ4 $h(x,u)$ が制御された成長を示す非増加成分に分解される場合、解の存在をどのように確立できるか。
• RQ5 $-h(x,t)/t^{\alpha+1}$ における単調性条件は必要不可欠であり、この条件が成り立たない場合に何が起こるか。

主な発見

• 比較原理は、$t \mapsto -h(x,t)/t^{\alpha+1}$ が $\mathbb{R}^+$ 上で非減少であるとき成り立ち、この条件は鋭い。
• $h(x,t) = -\beta t^{1+q}$ で $q < \alpha$ の場合、単調性条件が成り立たない反例を構成し、解の非一意性を示す。
• $\lambda < \min\{\overline{\lambda}, \underline{\lambda}\}$ のとき、$h(x,\cdot)$ が非増加であり $h(x,0) = 0$ であると仮定すれば、最大値原理が成り立つ。
• 連続な $f$ および $C^2$ 級境界データ $g$ の下で、$h(x,u) = h_1(x,u) - h_2(x,u)$ で $h_i$ が非増加、$h_i(x,0) = 0$、および $\lim_{t \to \infty} h_2(x,t)/t^{\alpha+1} = 0$ を満たすとき、粘性解の存在が証明される。
• $\overline{\lambda}$ は最大値原理を用いて定義され、関連する固有値問題に対して非自明な非負の解 $\phi_1$ が存在する。
• $f_1 < f_2 - m$ のとき、解 $u$ は $\partial\Omega$ 上で $u \geq \sigma$ を満たし、$\varepsilon \to 0$ の極限でもこの性質が保たれる。