[論文レビュー] The disappearance of causality at small scale in almost-commutative manifolds

Nadir Bizi, Fabien Besnard|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、非可換時空のモデルにおける因果関係を、$\mathcal{C}(M)\otimes A_f$ の形をしたほぼ可換な代数を用いて調査する。ここで $M$ はコンパactな距離化可能な空間であり、$A_f$ は有限次元の非可換代数である。因果関係がそのような代数におけるisoconeによって符号化されている場合、時空 $M$ 上の部分順序は小スケールで自明になる必要がある。これは、非可換幾何学の枠組みにおいて、因果関係がプランクスケールで根本的になくなることを示唆している。

ABSTRACT

This paper continues the investigations of noncommutative ordered spaces put forward by one of the authors. These metaphoric spaces are defined dually by so-called \\emph{isocones} which generalize to the noncommutative setting the convex cones of order-preserving functions. In this paper we will consider the case of isocones inside almost-commutative algebras of the form ${\\cal C}(M)\\otimes A_f$, with $M$ a compact metrizable space. We will give a family of isocones in such an algebra with the property that every possible isocone is contained in exactly one member of the family. We conjecture that this family is in fact a complete classification, a hypothesis related with the noncommutative Stone-Weierstrass conjecture. We also obtain that every isocone in ${\\cal C}(M)\\otimes A_f$, with $A_f$ noncommutative, induces an order relation on $M$ with the property that every point in $M$ lies in a neighbourhood of incomparable points. Thus, if the causal order relation on spacetime is induced by an isocone in an almost-commutative (but not commutative) algebra, then causality must disappear at small scale.

研究の動機と目的

• 非可換時空のモデルにおける因果順序の構造を $I^*$-代数フレームワークを用いて調査すること。
• 非可換な $A_f$ を持つほぼ可換な代数 $\mathcal{C}(M)\otimes A_f$ におけるisoconeを分類すること。
• このようなモデルにおいて、小スケールで因果関係を一貫して定義できるかどうかを特定すること。
• 非可換性が時空上での局所的因果順序の存在に与える影響を調査すること。
• 非可換代数によって誘導された場合、因果関係は小スケールで消失しなければならないという仮説を検証すること。

提案手法

• isocone（$C^*$-代数内の凸錐）を用いて非可換順序付き空間を定義する。これは順序を保つ関数を一般化する。
• コンパクトな距離化可能な $M$ と有限次元で非可換な $A_f$ を持つほぼ可換な代数 $\mathcal{C}(M)\otimes A_f$ におけるisoconeを研究する。
• すべての $\mathcal{C}(M)\otimes A_f$ 内のisoconeが、その族のちょうど1つの要素に含まれるように、isoconeの族を構成する。
• $M$ 上の閉じた部分順序 $\preceq$ がisoconeによって誘導可能であるための必要十分条件を示す。すなわち、厳密順序 $\prec$ も閉じている必要がある。
• 順序 $\preceq$ と $\prec$ の閉じるという位相的・代数的条件を用いて、因果構造の局所的構造に制約を導く。
• 非可換Stone-Weierstrass予想を適用し、$I^*$-代数のisocone分類の完全性を主張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換な $A_f$ を持つ $\mathcal{C}(M)\otimes A_f$ において、時空 $M$ 上の閉じた部分順序がisoconeによって誘導可能か。
• RQ2 非可換な設定下で因果関係が適切に定義されるために、厳密順序 $\prec$ が満たすべき位相的条件は何か。
• RQ3 $A_f$ の非可換性が、小スケールでの因果関係の崩壊を必然的に引き起こすか。
• RQ4 本論文で構成されたisoconeの族は、ほぼ可換な場合のすべての可能ないじ $I^*$-代数を完全に分類しているか。
• RQ5 $I^*$-代数アプローチによる因果関係は、因果集合のような他の非可換因果モデルと比べてどう異なるか。

主な発見

• 非可換な $A_f$ を持つ $\mathcal{C}(M)\otimes A_f$ 内のすべてのisoconeは、$M$ 上の部分順序を誘導するが、その中で各点は、互いに比較不能な点の近傍に含まれる。
• $M$ 上の閉じた部分順序 $\preceq$ がisoconeによって誘導可能であるための必要十分条件は、厳密順序 $\prec$ も閉じていることである。
• $\prec$ の閉じる性質は、$M$ のいかなる点に対しても、その点がすべての他の点と比較可能になる近傍が存在しないことを意味する。これは、因果関係が局所的に定義できないことを示している。
• この結果は、isoconeから因果構造が生じる任意の非可換時空のモデルにおいて、因果関係が小スケールで消失しなければならないことを示唆している。
• 本研究の結果は、[KLV14] および [ASZ14] の結果と一貫しており、これは量子重力モデルにおける因果関係の本質的な非局所性を示唆している。
• 非可換Stone-Weierstrass予想を根拠として、構成されたisoconeの族は、ほぼ可換な設定における $I^*$-代数の完全分類であると予想されている。