[論文レビュー] The distribution of integers with a divisor in a given interval

Kevin Ford|ArXiv.org|Jan 18, 2004

Analytic Number Theory Research参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、すべての $ x,y,z $ に対して、$ H(x,y,z) $、すなわち $ (y,z] $ に少なくとも1つの約数をもつ $ n \leq x $ の個数のオーダーを決定する。$ H_1(x,y,z) $ および $ H_r(x,y,z) $ に対して鋭い境界を確立し、Erdős と Tenenbaum の長年の予想を解消する。そのために、一様順序統計に関する新規な結果と篩法を用いる。

ABSTRACT

We determine the order of magnitude of H(x,y,z), the number of integers n\le x having a divisor in (y,z], for all x,y and z. We also study H_r(x,y,z), the number of integers n\le x having exactly r divisors in (y,z]. When r=1 we establish the order of magnitude of H_1(x,y,z) for all x,y,z satisfying z\le x^{0.49}. For every r\ge 2, $C>1$ and $ε>0$, we determine the the order of magnitude of H_r(x,y,z) when y is large and y+y/(\log y)^{\log 4 -1 - ε} \le z \le \min(y^{C},x^{1/2-ε}). As a consequence of these bounds, we settle a 1960 conjecture of Erdos and several related conjectures. One key element of the proofs is a new result on the distribution of uniform order statistics.

研究の動機と目的

• すべての $ x,y,z $ に対して、$ H(x,y,z) $、すなわち $ (y,z] $ に少なくとも1つの約数をもつ $ \leq x $ の整数の個数のオーダーを決定すること。
• $ H_r(x,y,z) $、すなわち $ (y,z] $ に正確に $ r $ 個の約数をもつ $ \leq x $ の整数の個数を分析すること。特に $ r=1 $ および $ r \geq 2 $ の場合を対象とする。
• Erdős が1960年に提起した、$ (y,2y] $ に約数をもつ整数の密度に関する予想、および Tenenbaum がこのような整数の分布に関して提起した複数の予想を解消すること。
• $ z $ が $ x $ に対してあまり大きくない範囲において、$ H_r(x,y,z) $ の一様な境界を確立すること。そのために、洗練された解析的整数論的手法を用いる。
• 一様順序統計の分布に関する新規な結果を構築し、それを主な分析のキーツールとして適用すること。

提案手法

• 包含除算法と篩法を用いて $ H(x,y,z) $ を推定する。特に、$ (y,z] $ 内の約数の最小公倍数に関する和を分析することで実行する。
• パrameter $ \beta $（$ z-y $ の相対的サイズに関連）に基づき、$ H(x,y,z) $ の対数的減衰の指数を記述する関数 $ G(\beta) $ を導入する。
• 算術的形の大きな篩の不等式を適用し、$ n - \lambda $ が素数であり、かつ $ n $ が $ (y,z] $ に約数をもつような $ n \leq x $ の個数を数える。特に短区間において有効である。
• $ S^*(t;\sigma) $ および関連する和 $ L(a;\sigma) $ を定義・分析し、上界および下界における誤差項を制御する。
• 一様順序統計の結果を用いて、$ (y,z] $ 内の約数の分布をモデル化し、正確にちょうど $ r $ 個のこのような約数をもつ整数の個数を推定可能にする。
• 主な境界を $ S^*(t;\sigma) $ を含む積分推定に還元し、その後、指数和および dyadic 分解技術を用いてその境界を求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $ x,y,z $ に対して、$ H(x,y,z) $、すなわち $ (y,z] $ に少なくとも1つの約数をもつ $ \leq x $ の整数の個数のオーダーは何か？
• RQ2 特に $ z \leq x^{1/2-\varepsilon} $ のとき、$ H_1(x,y,z) $、すなわち $ (y,z] $ に正確に1つの約数をもつ $ \leq x $ の整数の個数の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ3 $ y $ が十分に大きく、かつ $ y + y/(\log y)^{\log 4 - 1 - \varepsilon} \leq z \leq \min(y^C, x^{1/2-\varepsilon}) $ の範囲で、$ r \geq 2 $ のとき $ H_r(x,y,z) $ のオーダーは何か？
• RQ4 Erdős が提起した予想、すなわち $ \varepsilon(y,2y) = (\log y)^{-\delta + o(1)} $ で $ \delta = 1 - (1 + \log \log 2)/\log 2 $ であるという予想は正しいか？
• RQ5 Tenenbaum が $ H(x,y,z) $ に対して確立した境界は、特に $ z \approx y + y/(\log y)^{\log 4 - 1} $ の閾値付近で真のオーダーと一致するか？

主な発見

• $ z \leq x^{1/2 - \varepsilon} $ のとき、$ H_1(x,y,z) $ のオーダーは一様に決定され、$ (y,z] $ に約数をもつ整数の多くがこの範囲で正確に1つの約数をもつことが示された。
• $ r \geq 2 $ のとき、$ y + y/(\log y)^{\log 4 - 1 - \varepsilon} \leq z \leq \min(y^C, x^{1/2 - \varepsilon}) $ の範囲で $ H_r(x,y,z) $ のオーダーが一様に確立され、$ \log y $ および $ \xi $ に明示的な依存関係を示した。
• Erdős が提起した予想、すなわち $ \varepsilon(y,2y) = (\log y)^{-\delta + o(1)} $ で $ \delta = 0.086071\ldots $ であるという予想は確認され、1960年の問題が解決された。
• Tenenbaum が $ H(x,y,z) $ に対して確立した境界が、$ z \approx y + y/(\log y)^{\log 4 - 1} $ の臨界範囲で鋭いことが示され、彼の真のオーダーに関する予想が裏付けられた。
• $ y \to \infty $、$ z \leq \sqrt{x} $、$ \xi \to \infty $ のとき、$ H(x,y,z) \asymp x / (\log y)^{G(\beta)} \max(1, -\xi) $ が成り立つことが示された。ここで $ G(\beta) $ は区分的関数として定義される。
• 一様順序統計の分布に関する新規な結果が構築され、それが主な技術的ツールとして用いられ、正確に $ r $ 個の約数をもつ整数の個数を精密に制御可能となった。