[論文レビュー] The Distribution of Values of Analytic Functions on Convex Bodies

Alexander Brudnyi|ArXiv.org|Apr 27, 2001

Analytic and geometric function theory参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、複素空間内の凸体上における解析関数に対して、Chebyshev次数を主要な幾何的不変量として用いて、次元に依存しない逆 Hölder 不等式および濃度不等式を確立する。関数 |f| の分布は d_f(r) によってきわめて厳密に制御され、次元に依存しない絶対定数が得られ、Bourgain の不等式のような古典的結果を一般化し、擬・シュバルツ関数および準多項式へと拡張する。

ABSTRACT

Proceeding the study of local properties of analytic functions started in [Br] we prove new dimensionless inequalities for such functions in terms of their Chebyshev degree. As a consequence, we obtain the reverse Holder inequalities for analytic functions with absolute (i.e., independent of dimension) constants. For polynomials such inequalities were recently proved by Bobkov who sharpened and generalized the previous Bourgain result and by Sodin and Volberg.

研究の動機と目的

• C^n 内の凸体上における解析関数の次元に依存しない不等式を確立すること。
• Chebyshev次数 d_f(r) を用いて、正則関数の文脈に一般化された古典的逆 Hölder 不等式および Remez 型不等式を確立すること。
• 多項式および対数凹関数測度の結果を、擬・シュバルツ関数および準多項式を含むより広いクラスへと拡張すること。
• |f| の幾何平均まわりの鋭い濃度推定値を、次元に依存しない絶対定数を用いて得ること。

提案手法

• 証明は、多次元積分推定値を一次元の針積分に還元する KLS 定理に依拠している。
• 中心的不等式（定理 1.5）は、混合 L^p ノルムを Chebyshev 次数 d_f(r) を用いて評価し、mn = pq かつ p < 1/d_f(r) を満たすパラメータを用いる。
• 著者らは、Jensen の不等式およびガンマ関数の評価を用いて、|f| の等高線集合の測度を制御する。
• Remez 型不等式 (1.1) を基本的推定値として用い、ここで Chebyshev 次数 d_f(r) が全次数に置き換えられる。
• この手法は、凸体 V ⊂ R^k ⊂ C^n 上の対数凹関数測度 μ_h を用い、|V| = 1 と正規化する。
• 結果は、Bernstein 指数およびスペクトル次数を用いて、擬・シュバルツ関数および準多項式へと拡張される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解析関数に対する逆 Hölder 不等式は、次元および余次元に依存しない絶対定数を用いて確立可能か？
• RQ2 Chebyshev 次数 d_f(r) は、C^n 内の凸体上における |f| の分布をどのように制御するか？
• RQ3 多項式の Remez 不等式は、全次数の代わりに d_f(r) を用いることで、正則関数へとどの程度一般化可能か？
• RQ4 |f| の幾何平均まわりの濃度不等式は、明示的かつ次元に依存しない境界を用いて導出可能か？
• RQ5 Chebyshev 次数は、擬・シュバルツ関数および準多項式への結果の拡張において、果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、絶対定数を用いた逆 Hölder 不等式を確立する：||f||_p^p ≤ (cpd_f(r))^{pd_f(r)} ||f||_1^p （p > 1）。
• 濃度不等式を証明する：μ_h({|f| > α f_V}) ≤ C exp(−c α^{1/d_f(r)}），絶対定数 c, C を用いる。
• 小さな値に対しては、μ_h({|f| ≤ α f_V}) ≤ C (cα)^{1/d_f(r)} (log α)^{1/2} （α ≤ e^{-1}）を示す。
• 関数 exp(1/d_f(r)) − 1 に関する |f| の Orlicz ノルムは、絶対定数によって一様に有界である。
• log|f| の L^1 偏差がその平均から |C d_f(r)| で抑えられ、絶対定数 C を用いる。
• 結果は、d_f(r) をスペクトル次数または Bernstein 型次数に置き換えることで、擬・シュバルツ関数および準多項式へと拡張される。