[論文レビュー] The div-curl lemma for sequences whose divergence and curl are compact in W^{-1,1}

Sergio Conti, Georg Dolzmann+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2009

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ひとこと要約

この論文は、個々の列が一様に可積分でない場合でも、スカラー積 $u_k \cdot v_k$ が等可積分であるような $L^p$ および $L^q$ 内の列に対して、一般化された発散・回転補題を確立する。ビーティング補題とリプシッツ切断を用いて修正列を構成することで、$\operatorname{div}u_k$ および $\operatorname{curl}v_k$ が $W^{-1,1}$ 内でコンパクトである限り、$u_k \cdot v_k$ の弱 $L^1$ 収束が $u \cdot v$ に成立することを示し、古典的補間コンパクト性を弱い可積分性仮定へと拡張する。

ABSTRACT

It is shown that $u_k \cdot v_k$ converges weakly to $u\cdot v$ if $u_k\weakto u$ weakly in $L^p$ and $v_k\weakly v$ weakly in $L^q$ with $p, q\in (1,\infty)$, $1/p+1/q=1$, under the additional assumptions that the sequences $\Div u_k$ and $\curl v_k$ are compact in the dual space of $W^{1,\infty}_0$ and that $u_k\cdot v_k$ is equi-integrable. The main point is that we only require equi-integrability of the scalar product $u_k\cdot v_k$ and not of the individual sequences.

研究の動機と目的

• スカラー積 $u_k \cdot v_k$ のみが等可積分であるような状況に、古典的発散・回転補題を拡張すること。
• 非線形結晶塑性の主要な課題に対処すること：$\det \nabla \varphi_k$ は $L^1$ 内でコンパクトであるが、$\nabla \varphi_k$ は $L^p$ で一様有界ではない。
• 弱収束性 $L^p \times L^q$、$W^{-1,1}$ 内での発散および回転のコンパクト性、および積の等可積分性という最小限の仮定のもとで、$u_k \cdot v_k$ の弱 $L^1$ 収束を証明すること。
• 変数変換を用いて、2次元非線形弾性理論におけるデターミナントの弱連続性を保証する枠組みを提供すること。

提案手法

• ビーティング補題を適用し、$|A_k|, |B_k| \to 0$ となる集合 $A_k, B_k$ を抽出し、$|u_k|^p \chi_{\Omega \setminus A_k}$ および $|v_k|^q \chi_{\Omega \setminus B_k}$ が等可積分であるようにする。
• 修正列 $\widetilde{u}_k = u_k \chi_{\Omega \setminus A_k}$, $\widetilde{v}_k = v_k \chi_{\Omega \setminus B_k}$ を定義し、$\widetilde{u}_k \cdot \widetilde{v}_k$ が $u_k \cdot v_k$ と同じ弱極限を持つように保証する。
• リプシッツ切断技術を用いて、修正列がそれぞれ $W^{-1,p}$ および $W^{-1,q}$ 内で発散および回転がコンパクトであるようにする。
• 修正列に対して古典的発散・回転補題を適用し、$u=v=0$ の場合に $\widetilde{u}_k \cdot \widetilde{v}_k \rightharpoonup 0$ が $\mathcal{D}'(\Omega)$ 内で成立することを結論づける。
• 等可積分性と $W^{-1,1}$ 内での強収束を用いて、$|u_k|^p$ の等可積分性と $\operatorname{div}u_k$ の $W^{-1,1}$ 内収束から、$\operatorname{div}\widetilde{u}_k \to 0$ が $W^{-1,p}$ 内で成立することを示す。
• 一般の場合をゼロ極限の場合に還元するため、$\widetilde{u}_k = u_k - u$, $\widetilde{v}_k = v_k - v$ を定義し、線形性を用いて $u_k \cdot v_k \rightharpoonup u \cdot v$ が $L^1$ 内で成立することを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 個々の列が可積分でない場合でも、スカラー積 $u_k \cdot v_k$ のみが等可積分であるような状況に、古典的発散・回転補題を拡張できるか？
• RQ2 $\operatorname{div}u_k$ および $\operatorname{curl}v_k$ が $W^{-1,1}$ 内でコンパクトであり、$u_k \cdot v_k$ が等可積分である場合、積の弱 $L^1$ 収束が成立するか？
• RQ3 この一般化された補題を、非線形弾性モデルにおける変形勾配のデターミナントの弱連続性の証明に応用できるか？
• RQ4 修正列 $\widetilde{u}_k$, $\widetilde{v}_k$ を構成し、$L^p$ および $L^q$ ノルムが等可積分でありながら、積の弱極限を保つことができるか？
• RQ5 発散および回転のコンパクト性のもとで、$u_k \cdot v_k$ の弱収束性を保証するための、$u_k \cdot v_k$ の最小可積分性条件は何か？

主な発見

• 仮定として $u_k \rightharpoonup u$ in $L^p$, $v_k \rightharpoonup v$ in $L^q$, $\operatorname{div}u_k \to \operatorname{div}u$ in $W^{-1,1}$, $\operatorname{curl}v_k \to \operatorname{curl}v$ in $W^{-1,1}$, および $u_k \cdot v_k$ が等可積分である場合、スカラー積 $u_k \cdot v_k$ は $L^1(\Omega)$ 内で $u \cdot v$ に弱収束する。
• 主な新規性は、等可積分性が $|u_k|^p$ や $|v_k|^q$ ではなく、積 $u_k \cdot v_k$ のみに要求されることであり、個々の列が一様可積分でない非線形モデルへの応用を可能にする。
• 証明では、ビーティング補題とリプシッツ切断を用いて修正列 $\widetilde{u}_k$, $\widetilde{v}_k$ を構成し、$|\widetilde{u}_k|^p$ および $|\widetilde{v}_k|^q$ が等可積分であるように保証することで、古典的発散・回転補題の適用が可能になる。
• $\operatorname{div}u_k$ の $W^{-1,1}$ 内のコンパクト性と $|u_k|^p$ の等可積分性から、$\operatorname{div}u_k \to 0$ が $W^{-1,p}$ 内で成立することが示され、議論の重要なステップである。
• 2次元では、$\nabla\varphi_k = G^k + B^k$ で、$G^k \rightharpoonup \nabla\varphi$ in $L^2$, $B^k \to 0$ in $L^1$, および $\det\nabla\varphi_k$ が等可積分であるならば、$\det\nabla\varphi_k \rightharpoonup \det\nabla\varphi$ が $L^1$ 内で成立する。
• ファキールのカーペットを用いた反例により、$u_k \cdot v_k$ の等可積分性が必要であることが示され、それがないと弱収束が成立しない。