[論文レビュー] The divisibility by 2 of rational points on elliptic curves

Boris M. Bekker, Yuri G. Zarhin|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有理数2-torsionを持つ楕円曲線上の有理点の2等分可能性の基準について、明示的な半点の公式を用いて、より初等的で簡単な証明を提供する。任意の標数≠2の体上での2冪およびねじれ部分群を指定した楕円曲線の普遍的族を構成し、ハッセの不等式とモジュラー曲線との関係を応用して、特定の群構造（例：$ℤ/10ℤ ⊕ ℤ/2ℤ$）を持つ小さな有限体および数体上の楕円曲線を明示的に分類する。

ABSTRACT

We give a simple proof of the well-known divisibility by 2 condition for rational points on elliptic curves with rational 2-torsion. As an application of the explicit division by $2^n$ formulas obtained in Sec.2, we construct versal families of elliptic curves containing points of orders 4, 5, 6, and 8 from which we obtain an explicit description of elliptic curves over certain finite fields $\mathbb{F}_q$ with a prescribed (small) group $E(\mathbb{F}_q)$. In the last two sections we study 3- and 5-torsion. This paper supercedes arXiv:1605.09279 [math.NT] .

研究の動機と目的

• 有理数2-torsionを持つ楕円曲線上の有理点の古典的な2等分可能性基準について、より簡単で計算が少ない証明を提供すること。
• $2^n$ で割り切れる点の明示的公式を導出し、指定されたねじれ部分群を有する楕円曲線の普遍的族の構成を可能にすること。
• 有限体$ℤ_q$ 上で、有理点群$E(ℤ_q)$ が$ℤ/10ℤ ⊕ ℤ/2ℤ$ や$ℤ/20ℤ ⊕ ℤ/2ℤ$ に同型となるような楕円曲線を、$q = 31, 37, 41, 43, 59, 61$ の場合に明示的に分類すること。
• 2次体上でのねじれ部分群が$ℤ/10ℤ ⊕ ℤ/2ℤ$ に同型となる楕円曲線への分類を、明示的なパラメータ表示を用いて拡張すること。

提案手法

• 標数≠2の体$K$ 上の楕円曲線$E$に対して、接線の計算を用いた初等的な代数的幾何学的手法により、$2Q = P$ を満たす点$Q$ の公式を導出する。この際、$x_0 - \alpha_i$ が$K$ 上で平方であるという条件を用いる。
• $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ に同型な部分群をもつ楕円曲線$\mathcal{E}_{5,\xi,\eta}$ の明示的パラメータ表示を導出し、$K$-点が有理曲線または genus-one 曲線上にあることと関連付ける。
• ハッセの不等式を用いて、$E(\mathbb{F}_q)$ の可能な位数を制限し、$q = 31, 37, 41, 43, 59, 61$ に対して、$E(\mathbb{F}_q) \cong \mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ または $\mathbb{Z}/20\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ となる曲線を正確に分類する。
• 2-降下理論と明示的な半点の公式を用いて、$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$、$\mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$、$\mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ のねじれ部分群を有する普遍的族を構成する。
• Mazur や Kamienny、Kenku–Momose の古典的結果を用いて、$\mathbb{Q}$ や2次体上での可能なねじれ部分群を分類する。
• $K$ における2次体上での $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ に同型なねじれ部分群の存在と、曲線が $\mathcal{E}_{5,\xi,\eta}$ の族のいずれかに同型であることの同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標数≠2の体$K$ 上の楕円曲線$E$ 上の有理点$P = (x_0, y_0)$ が、$E(K)$ 内で2等分可能であるための条件は何か？
• RQ2 任意の標数≠2の体上での楕円曲線の族を、4, 5, 6, 8位の点を含むように明示的に構成する方法は何か？
• RQ3 有限体$\mathbb{F}_q$ に対して、楕円曲線$E$ の有理点群$E(\mathbb{F}_q)$ が特定の同型型（例：$\mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$）をとるための条件は何か？
• RQ4 2次体$K$ 上の楕円曲線が、ねじれ部分群 $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ に同型となるための正確な条件は何か？
• RQ5 ハッセの不等式と明示的なねじれ部分群の構成を組み合わせることで、指定された点群構造を持つ小さな有限体上での楕円曲線をどのように分類できるか？

主な発見

• 標数≠2の体$K$ 上の楕円曲線$E: y^2 = (x - \alpha_1)(x - \alpha_2)(x - \alpha_3)$ 上の有理点$P = (x_0, y_0)$ が、$E(K)$ 内で2等分可能であるための必要十分条件は、$x_0 - \alpha_i$（$i=1,2,3$）がすべて$K$ 上で平方であることである。この基準は、接線の初等的幾何学的考察により証明される。
• 接線法を用いて、$2Q = P$ を満たす4つの点$Q$ の座標を明示的に導出し、重い計算を回避する。
• $q = 31, 37, 41, 43$ の場合、$E(\mathbb{F}_q) \cong \mathbb{Z}/20\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ であるための必要十分条件は、$E$ が $\mathcal{E}_{5,\xi,\eta}$ のいずれかに同型であることである。ハッセの不等式と部分群の包含関係を用いて示された。
• $q = 59$ または $61$ の場合、$E(\mathbb{F}_q) \cong \mathbb{Z}/30\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ であるための必要十分条件は、$E$ が $\mathcal{E}_{5,\xi,\eta}$ のいずれかに同型であることである。ハッセの不等式により群位数が60に制限され、その結果が得られた。
• $K$ を2次体とするとき、ねじれ部分群$E(K)_t$ が $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ に同型であるための必要十分条件は、$E$ が $\mathcal{E}_{5,\xi,\eta}$ のいずれかに同型であることである。ただし、$\xi, \eta$ は特定の代数的条件（方程式および不等式）を満たす必要がある。
• $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ および $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ のねじれ部分群を有する普遍的族の構成は、genus-one 曲線上の$K$-点によってパラメータ化されており、その結果が genus-one のモジュラー曲線と関連している。