[論文レビュー] The division map of principal bundles with groupoid structure and generalized gauge transformations

Carlo A. Rossi|ArXiv.org|Jan 15, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、構造群族 $\Gamma$ を持つ主バンドルへ一般化されたゲージ変換の概念を拡張し、従来の主 $G$-バンドルで用いられてきた除法写像 $\phi_P$ の役割を、リー群族の枠組みへと拡張する。ヒルズム＝スカンダリス一般化ゲージ変換の群族を導入し、それらが合成に関して適切に定義された群族であり、可逆な射と同型群の群構造を持つことを示し、非アーベル的かつ局所的に自明でない状況におけるゲージ理論のカテゴリカルかつ幾何学的基盤を確立する。

ABSTRACT

Motivated by the computations done in \cite{C1}, where I introduced and discussed what I called the groupoid of generalized gauge transformations, viewed as a groupoid over the objects of the category $\mathsf{Bun}_{G,M}$ of principal $G$-bundles over a given manifold $M$, I develop in this paper the same ideas for the more general case of {\em principal $\calG$-bundles or principal bundles with structure groupoid $\calG$}, where now $\calG$ is a Lie groupoid in the sense of \cite{Moer2}. Most of the concepts introduced in \cite{C1} can be translated almost verbatim in the framework of principal bundles with structure groupoid $\calG$; in particular, the key r�le for the construction of generalized gauge transformations is again played by (the equivalent in the framework of principal bundles with groupoid structure of) the division map $f_P$. Of great importance are also the generalized conjugation in a groupoid and the concept of (twisted) equivariant maps between groupoid-spaces.

研究の動機と目的

• 主 $G$-バンドルからの一般化ゲージ変換理論を、$\mathcal{G}$ がリー群族である主バンドルに拡張すること。
• 主 $\mathcal{G}$-バンドルのファイバー上での自由かつ推移的な群族作用を特徴付けるために、除法写像 $\phi_P$ の役割を一般化すること。
• ヒルズム＝スカンダリス一般化ゲージ変換の群族を定義し、その構造を確立するとともに、バンドル同型に関しての不変性を示すこと。
• ヒルズム＝スカンダリス射間の一般化ゲージ変換の空間が、well-defined な積 $\star$ を介して群族構造を備えることを示すこと。この積は $\mathcal{G}$-不変性と整合的である。
• この一般化ゲージ群族の同型群が、バンドルから $\mathcal{H}$ への $\mathcal{H}$-不変な滑らかな写像の空間に同型であることを示し、特に対称性の特別な場合としてゲージ群が回復されることを示すこと。

提案手法

• 論文は、各ファイバー上で自由かつ推移的な $\mathcal{G}$-作用を持つ滑らかで全射的かつサブメルジオンである $\pi: P \to M$ として、構造群族 $\mathcal{G}$ を持つ主バンドルを定義し、主 $G$-バンドルの概念を一般化する。
• 群族作用を符号化する除法写像 $\phi_P: P \times_M P \to \mathcal{G}$ を導入し、これは $G$-バンドルの古典的除法写像を一般化する。
• ファイバー積 $P_1 \odot P_2$ から群族 $\mathcal{H}$ への $\mathcal{G}$-不変かつ $\mathcal{H}$--equivariant な写像として一般化ゲージ変換を構成し、$ (K_{23} \star K_{12})(p_1,p_3) = K_{23}(p_2,p_3)K_{12}(p_1,p_2) $ で定義される積 $\star$ を用いる。
• 積 $\star$ が結合的であり、中間点 $p_2$ の選択に依存しないことを証明し、一般化ゲージ変換群族における適切な合成を保証する。
• 任意の一般化ゲージ変換の逆は、除法写像の $\mathcal{H}$ 内での逆として与えられ、可逆性と群族構造を保証する。
• ヒルズム＝スカンダリス射を対象とし、ファイバー積上での $\mathcal{G}$-不変かつ $\mathcal{H}$-値の写像を射とする群族 $C^{\infty,\mathcal{H}^2}_{\mathcal{G}}$ を定義し、これがカテゴリ $\mathsf{HS}_{\mathcal{G},\mathcal{H}}$ と同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構造群族 $\mathcal{G}$（$\mathcal{G}$ はリー群族）を持つ主バンドルへ一般化ゲージ変換の概念をどのように拡張できるか？
• RQ2 除法写像 $\phi_P$ は、主 $\mathcal{G}$-バンドルの構造を特徴付けるために果たす役割は何か？また、一般化ゲージ変換の構成を可能にする要因は何か？
• RQ3 ヒルズム＝スカンダリス射間の一般化ゲージ変換の空間に、合成に関してwell-defined な群族構造を定義できるか？
• RQ4 $\mathcal{G}$-不変性が、ファイバー積内での中間点の選択に依存しない一貫性をどのように保証するか？
• RQ5 一般化ゲージ群族の同型群と、バンドルから $\mathcal{H}$ への $\mathcal{H}$-不変な滑らかな写像の空間との関係は何か？

主な発見

• ヒルズム＝スカンダリス一般化ゲージ変換群族は適切に定義されており、射が積 $\star$ に関して閉じており、結合的かつ中間点の選択に依存しない。
• 二つの一般化ゲージ変換の積 $\star$ は $\mathcal{G}$-不変であり、したがってヒルズム＝スカンダリス射の圏における射へと下降する。
• すべての一般化ゲージ変換は可逆であり、その逆は除法写像の $\mathcal{H}$ 内での逆として与えられ、群族構造が保証される。
• 一般化ゲージ群族の任意の対象 $P$ における同型群は、空間 $C^{\infty}_{\mathcal{G}}(P,\mathcal{H})^{\mathcal{H}}$ に同型であり、これは $P$ のヒルズム＝スカンダリスゲージ群である。
• $C^{\infty,\mathcal{H}^2}_{\mathcal{G}}$ 群族はカテゴリ $\mathsf{HS}_{\mathcal{G},\mathcal{H}}$ と同型であり、すべての射が可逆であり、構造が真の群族であることが確認される。
• この構成により、非アーベル的かつ局所的に自明でないリー群族作用の設定における、古典的ゲージ群および変換理論が一般化され、一般化ゲージ理論のカテゴリカルな枠組みが提供される。